應變式稱重傳感器的設計與計算：
此篇文章的形成是基于對稱重傳感器設計者能有所幫助。它深入分析推導出一些公式，這些公式能夠計算出位于稱重傳感器上的某些尺寸大小，并提供所需要的輸出。此篇文章還介紹了各種誤差來源及設計建議。
粘貼式電阻應變計廣泛應用于當今高精度測力與稱重傳感器的制造中。本篇文章為幫助稱重傳感器設計者計算出稱重傳感器尺寸大小，從而為獲得需要的輸出作了充分的準備。設計者既可以運用有限元分析法經計算機程序（如果可能）來確定稱重傳感器所需要的尺寸，或運用本文所提供的公式來計算此尺寸。應力公式選自一部非常好的書——應力與應變公式（見參考文獻[1]）。除了公式匯編，本文還討論了誤差的可能來源及設計建議，有關誤差來源的信息主要是基于作者的經驗。文中所描述的相關稱重傳感器沒有作磚利調查，在考慮把所討論的設計用于產品的生產或推向市場前，有必要作一下調查。
通過某些假設得出的這些計算公式，另外還有電阻應變計的特性、應力形式、材料特征以及機械加工的偏差都會導致計算結果的一定誤差。在批量制造稱重傳感器前，應制造幾個樣機進行組裝、測試和標定。
在某些工業中，如航天工業也許只需要一次性的稱重傳感器，為決定其非線性、重復性和滯后等誤差，在使用前對其進行標定是十分重要的。當計算機被應用于數據處理時，非線性、零點漂移及靈敏度變化，是很容易修正的。如果稱重傳感器在使用時要經歷強烈的溫度變化和外部附加載荷的影響，我們應進行試驗并測量出這些影響量所造成的誤差。如果某部分結構（如接頭、銷子、壓桿）用來測量或是被用作稱重傳感器時，標定和測試就尤為重要了。
稱重傳感器設計包括許多方面，這里對其制造生產不予討論，例如，需要對電阻應變計安裝技術知識的**了解，一些電阻應變計制造商提供技術資料的同時，還應提供電阻應變計安裝的分類等。
有關稱重傳感器設計的附加內容見參考文獻[2]（a）和[2]（b）。這份小冊子及計算機程序比較完整，可以從制造商那里獲得。
在過去十年中，計算機技術的發展改變了稱重傳感器的設計、制造與記錄方式，例如在電阻應變計被安裝后，所有的稱重傳感器都有一個原始的不平衡（當沒有載荷作用時，也有輸出信號存在）。通常零點調整電阻被應用于商業稱重傳感器，以便消除這種不平衡。運用計算機程序，零點不平衡數據很容易被除掉。除了零點調整電阻外，在精密的商業稱重傳感器中安裝了許多電阻，便于補償諸如零點和靈敏度溫度影響。如果在記錄數據的同時，稱重傳感器的溫度也進行了測量，并且當這個稱重傳感器被標定時，溫度造成的誤差已被測定，那么就應該運用計算機程序修正*終數據。商業稱重傳感器制造商不為計算機提供用于修正原始不平衡或溫度影響的數據，因為他們不想局限市場。商業稱重傳感器不安裝零點平衡及溫度補償電阻會節省大量資金，尤其是需求量很大時效果更明顯。
符號定義
a—結構系數。
A—橫截面面積。
A'—中性軸上橫截面面積。
A1—中性軸上翼緣面積。
A2—中性軸上腹板面積。
b—應變梁翼緣或矩形截面的寬度。
c—從中性軸到應變梁或翼緣上表面的距離。
d—從中性軸到翼緣下表面的距離。
e—拉伸或壓縮應變。
e1、e2、e3、e4—應變計1、2、3、4的應變值。
—應變計1應變的優良值。
es—應變梁表面應變。
et—電橋的總有效應變。
Ei—電橋的激勵電壓。
E0—電橋的輸出電壓。
Em—彈性模量。
f—翼緣厚度。
Gf—應變計靈敏系數。
h—應變梁厚度。
J—橫截面的慣性矩。
l—從應變梁中心到應變計中心線的距離。
L—應變梁上兩個應變計中心線之間的距離。
μ—泊松比。
M—應變計中心的彎矩。
N—電橋應變放大系數。
p—分載荷。
P—主載荷。
r—圓柱式彈性體半徑。
S—拉伸或壓縮應力。
Sa—平均應力。
Sb—彎曲應力。
Ss—剪切應力。
t—中性軸處腹板的厚度。
T—軸的扭矩。
V—剪力。
Z'—從中性軸到A'質心的距離。
Z1—從中性軸到翼緣質心的距離。
Z2——從中性軸到腹板質心的距離。
應變式稱重傳感器的設計與計算
稱重傳感器的輸出計算
| 圖1 稱重傳感器電路簡圖 | 圖1是一個不含溫度補償電阻的稱重傳感器電路簡圖。四個電阻應變計呈現在惠斯通電橋的橋臂上。請注意，應變方向相同的兩個電阻應變計安裝在電橋的相對橋臂上，以保證電橋靈敏度*大。例如，電阻應變計1和3受拉伸應力，2和4受壓縮應力，那么這種安裝的結果是當稱重傳感器承載后，增加了電橋從B點到C點的*終電壓輸出。相反，當稱重傳感器由于溫度影響而改變它的電阻時，由于增加或減少相同的量，電橋的*終輸出不會變化。這種電橋的構造由于溫度產生單一的*小輸出值，而使稱重傳感器產生*大輸出值。 如圖1所示，電橋輸出E0與輸入Ei之比為： （1） 式中：Gf—應變計系數，由應變計制造商提供的非尺寸大小因素。 |
et—電橋上應變計的全部有效應變產生的總的應變輸出。
變化公式（1），得到總應變： （2）
通過這兩個公式，便可以計算稱重傳感器的輸出靈敏度E0/Ei，如果給出了電橋各橋臂的應變值，就可以計算出總的應變值et。如果給出了所需要的電橋輸出值，要想確定電橋的總應變值et，我們必須知道每個橋臂的應變值：
et=e1-e2+e3-e4
式中：e1—應變計1的單軸應變值（通常是稱重傳感器上*大*主要的應變）。
e2、e3和e4—應變計2、3和4上的單軸應變值。
上述公式et中的加號和減號是由其在電橋上的位置而決定的。如果應變計1和3處于拉伸應力，使得電阻增加（或者相對于C、B處得到一個正的輸出），應變計2和4處于壓縮應力，使得電阻減小（或者是得到一個負的輸出），則公式為：
et =e1-（-e2）+e3-（-e4）
*后，由于電橋的位置，應變計電阻的變化et的公式如下：
在全部稱重傳感器設計中，應變計1、2、3和4上的應變值存在著一個固定的關系N（電橋應變放大系數），則上式可以寫為：
（3）
和
et=N（±e1） （4）
用公式（1）代替et，結果是：
（5）
公式（2）變化為：
（6）
有三種應力被應用于稱重傳感器的設計中，即拉伸與壓縮應力，彎曲應力和剪切應力。
利用拉伸與壓縮應力的稱重傳感器
利用拉伸應力與壓縮應力的多為商業稱重傳感器，它是利用單一載荷產生的應力，代替被稱物體產生的應力。由于有較小的縱剖面設計，能為所給的受力狀態提供較大的輸出。
在航空工業中，通常用圓柱形彈性體作稱重傳感器（處于拉伸應力或壓縮應力的圓柱）是比較方便的。*好是將圓柱的兩端固定或設計成雙球面，若是作不到這一點，就把應變計粘貼在附加彎矩*小區域，那里的橫截面存在有規律的變化，并產生*小的彎曲應力。
注意：1、應變計1、4和2、3為單軸結構或90°應變花，在圓筒表面相隔180°粘貼。
2、在載荷P方向，應變計1、3受拉伸，應變計2、4受壓縮。
圖2 電阻應變計位置圖
圖2是圓柱式稱重傳感器的一個例子，有關計算圓柱應力S的傳統公式如下：
（7）
式中：P—軸向載荷。
A—圓柱橫截面面積（圖2的A-A部分）。
S—拉伸或壓縮應力。
既然這是一個單軸向載荷的圓柱，就可應用虎克定律，其應力、應變可用如下公式計算：
（8）
S=e1Em （9）
式中：Em—彈性模量。
e1—1號應變計的軸向應變值。
圓柱式稱重傳感器電橋的輸出應由公式（5）計算。
既然圓柱的尺寸大小是固定的，正如下面例子所給出的：假設一個額定載荷為P=2500Ib（磅）的鋼制彈性體，彈性模量Em=10.6×106psi（磅/英寸2），圓筒的外徑為2.0英寸，內徑為1.75英寸。通過計算其橫截面面積為A=0.736英寸2。
為通過公式（3）和（4）確定N，e1=e3，e2=e4=μe1，式中μ為泊松比。代入公式（3）和（4），其結果為：
N=1+μ+1+μ=2（1+μ）
由于鋼的μ值為0.32，所以N=2.64。
利用公式（7）計算應力，即
磅/英寸2。
通過公式（8）確定應變計1的應變值，即
=320×10-6
通常寫為e1=320microinches/inch（微英寸/英寸）。
如果應變計靈敏系數（由制造商提供）為2.0，代入公式（5）中，計算結果如下：
mv/v
這說明如果給電橋施加Ei=10V激勵電壓，一個2500磅的載荷施加在稱重傳感器上時，輸出的變化應為E0=4.22mv。一個典型的商用稱重傳感器的額定輸出為從2.00到3.00mv/v或從20到30mv（施加10v激勵電壓時），所以0.422mv/v是一個較低的輸出。
若要增大這個例子中圓筒式稱重傳感器的輸出，我們可以作很多工作。
（A）為求所需要的橫截面面積A，假定計算靈敏度為2.0mv/v，就必須選擇能形成這一面積的外徑。可在圓柱彈性體表面粘貼應變計并使其受載進行驗證，直到得出滿足要求的直徑為止。如果這種方法不行，可以試驗下一個方法。
（B）電橋輸出電壓E0與輸入電壓Ei成正比，輸入電壓受材料，電橋電阻，應變計尺寸等限制（見參考文獻[3]）。假定施加在電橋上的*大推薦電壓為10V，要想應用更高的電壓，可通過加大電橋電阻的方法，即采用更大電阻的應變計。圖2展示的4個應變計，其中兩個應變計在0°位置上（或粘貼一個90°的應變花），另兩個應變計在180°位置上（或粘貼第2個應變花）。應用8個應變計的電橋，在圓柱表面沿0°，90°，180°和270°粘貼90°的應變花，電橋各臂電阻會增大一倍。這時輸入電壓可增大，但是由于推薦應用于電橋的電壓與電阻的平方根成比例，所以這只能增加輸出值的1.41倍。另外，如果應變計的柵長和柵寬分別由1/8英寸增大到1/4英寸時，應變計的面積便增加了4倍，而輸出增加一倍?，F在總輸出增加了（1.41×2）或2.82倍，電橋電壓會增加到28.2V，輸出由11.9mv取代了4.22mv。
應變式稱重傳感器的設計與計算
柱式稱重傳感器的誤差來源
一個泊松電橋（兩個應變計測量主應變，另兩個應變計測量由于泊松比影響而產生的應變）是固有的非線性電橋。對于一個靈敏度為2.0mv/v的稱重傳感器，這種固有的非線性大約為0.10%。電橋的非線性可以被另一個非線性部分所抵消一些。引起另一個非線性的原因是由于泊松比使得柱式彈性體橫截面面積增加或減少。例如，當稱重傳感器承受壓向載荷時，橫截面面積增加，使壓縮應力減小；當承受拉向載荷時，就是相反的情況。對于一個靈敏度為2.0mv/v的稱重傳感器，由于截面積變化引起的非線性誤差大約為0.05%，所以總的非性誤差為0.10%～0.05%或者0.05%。這是非常小的通?？梢院雎圆挥?，但是在稱重傳感器檢測數椐中，這是應該被檢測的誤差。精密的商用稱重傳感器應利用附加的半導體應變計，此半導體應變計被粘貼在彈性體上，并串聯在電橋電路的供橋端來補償非線性。
注意圖2圓柱式彈性體上應變計的安排，全部應變計被粘貼在同一個平面上，例如縱向應變計1和3為0°和180°，橫向應變計2和4為90°和270°，且所有應變計的中心線處于一個橫截面的水平線上。圓柱上的應變計如圖2安排，有兩個原因：
（A）彎曲應力是誤差的來源之一，必須使之*小化。理論上，當應變計如圖1和2粘貼連線時（如測量拉伸與壓縮應力），彎曲應力被消除。因為并不存在準確上乘的貼片，建議采取其它方法使得彎曲應力產生的誤差盡可能接近于零。在圓柱上彎曲力矩的方向通常是可以確定的，應變計應粘貼在圓柱彎曲力矩*小處，且在中軸線上（見圖2），那里的彎曲應力理論上為零。
（B）如果圓柱大且應變計在同一個平面間隔90°粘貼，圓柱周圍的任何溫度變化都會導致信號漂移。所以電橋相鄰兩臂的應變計應盡量靠近粘貼，從而減少溫度誤差，這也是利用90°應變花的原因之一。
彎曲型稱重傳感器
設計過程與柱式結構有所不同，概述如下：
（A）由公式（3）和（4）確定有效應變N，通常是用公式（4）。
（B）為提供所需要的輸出，由公式（6）確定要求的應變。
（C）通過公式（9），由應變算應力。
（D）根據載荷與尺寸大小建立應力公式。
（E）為計算所需尺寸大小，用（C）中計算出的應力替代（D）中產生的應力。
這是為滿足所需要的輸出，求得稱重傳感器尺寸大小的*普通方法。另一方面，如果已給出了尺寸大小，而輸出E0/Ei是所要求得的，那么應依照前面所介紹的圓柱式稱重傳感器計算過程，應用公式（3）和（4），之后是公式（7）和（8），*后是公式（5）得到輸出靈敏度E0/Ei。
圖3 在載荷P作用下標準的雙梁彎曲型稱重傳感器
圖3是在載荷P作用下一個典型的雙梁彎曲型稱重傳感器簡圖，為了看得清晰，去掉了外殼并加大了偏轉度。這種商用稱重傳感器用于測量較低的載荷，應變計粘貼位置如圖3所示。圖1所示的電橋電路仍然有效。
圖4 半根彎曲梁顯示的2片應變計位置圖
圖4是一個自由體的簡圖，粘貼有2個應變計的半根應變梁。通常梁的大多數尺寸是固定的，厚度h根據所需要的輸出進行計算。例如假定所需要的輸出靈敏度E0/Ei是3.0mv/v，首先計算出有效應變值，既然所有的應變計產生相等的應變，由公式（3）和（4）得出N=4。制造商提供的應變計靈敏系數為2.1，接下來為提供所需要的輸出，需要求出的應變e1可以通過公式（6）求得，即
英寸/英寸
又可寫為：
e1=1429微英寸/英寸。
彈性體材料為17—4PH不銹鋼，Em=29.1×106磅/英寸2。彎曲應力Sb由公式（6）計算出應變e1，代入公式（9）得出，即
Sb=e1Em=1429×10-6×29.1×106=41.580磅/英寸2。
在彎曲梁中求彎曲應力的傳統公式如下：
式中：M—應變計2在中心線上的彎矩。
C—從中性軸到梁表面的距離。
J—應變計所在截面的慣性矩。
圖5 彎曲梁上應變計到表面距離引起的誤差
圖4和圖5給出p=P/2，C=h/2，l=L/2，M=pl，對于矩形截面J=bh3/12，把這些值代入Sb=Mc/J中，得出Sb=6pl/bh2，h的計算公式為：
（10）
現以用數值表示的實例進行說明，假設截面尺寸與載荷如下：
L—應變計中心線之間的距離，L=1.00英寸，l=L/2=0.50英寸。
P—滿量程載荷，P=100磅，p=P/2=50磅。
b—梁的寬度，b=0.625英寸。
代入公式（10）得出的結果是：
英寸
應變式稱重傳感器的設計與計算
彎曲型稱重傳感器的誤差來源
彎曲型稱重傳感器的誤差來源，其一是由于粘貼在梁上的應變計，所用的應變粘結劑和防護涂料增加了非常薄的應變梁的剛度。因為應變計、應變粘結劑和防護涂料不會*具有彈性，這一附加剛度就會引起滯后和非線性誤差。根據估算如果鋼制彈性應變梁貼片處的厚度小于0.017英寸（0.43mm），鋁制彈性應變梁的厚度小于0.030英寸（0.76mm），就會出現小的誤差。其二如果不考慮被粘貼的應變計與表面的那段距離（見圖5中的d），那么當你計算非常薄的梁的厚度時就會出現誤差。因為應變計的應變值與其到中性軸的距離成正比，所以梁的表面應變es比應變計的應變e2小一些。為闡明這點，我們假定上面梁的厚度h為0.018英寸，為了求出所需要的輸出，仍需假定應變計的應變為1429微英寸/英寸，則重新計算的表面應變為：
式中：C=h/2=0.018/2=0.009英寸。
d≈0.0015英寸。
被利用的新的應變為：
=1225微英寸/英寸。
為提供所需要的輸出計算應變的誤差，應該比這個例子大約高出17%，這只是計算梁厚度的一個估計的誤差，并不是一個操作性的誤差。
剪切型稱重傳感器
當載荷超過了彎曲型稱重傳感器的要求時，應設計成剪切型結構，但是，當載荷超過200000磅（90718kg）時，建議采用柱式結構。
剪切應變是一個角應變，不能像軸向應變那樣進行測量，只能間接測量。莫爾圓有關純剪切應力情況及應變計粘貼簡圖如圖6所示。
圖6 莫爾圓及應變計分布簡圖
莫爾圓表明切應力的*大值與處于拉伸狀態的主應力的*大值是相等的，并且與梁的中性軸成45°方向。應變計是測量主應力產生的應變，因此應變計也同樣應與中性軸成45°，如圖6所示。此圖同樣表明一個沒有載荷作用的平面部分正方形單元，當有載荷作用時正方形會變成菱形，使得一個應變計處于拉伸狀態，而另一個應變計處于壓縮狀態。請注意應力是雙軸的，其處于拉伸狀態的主應力的軸向應變值不但與St成正比，而且隨泊松比μSc而增加：
e1=（1+μ） （11）
式中：e1—應變計1的測量應變。
—單軸向范圍內的基準應變，=S/Em。
μ—泊松比。
電橋各橋臂上的應變計承受同樣的應變值，所以利用電橋總應變公式，可寫為：
et=+++
=4（1+μ）
因為
所以 N=4（1+μ）
泊斯特（Purest）會議有學者認為這是不符合規則的，因為e1`并沒有真實的存在，但是它確實提供了正確的答案，并在N值計算中有它是很方便的。用于計算所要求的可以提供所需輸出的應變算公式（6）可變為：
（12）
計算出所要求的單軸應變后，應力通過公式（9）獲得，即
Ss=St=-Sc=Em
能否準確計算出稱重傳感器上的應力，因切應力的種類和彈性體的結構不同而產生很大的差異。例如，一個承受純剪切應力狀態的扭轉軸，其切應力計算可由下面典型的公式得出：
式中：Ss—切應力（與主應力的*大值相等）。
T—軸上的扭矩。
r—軸的半徑。
J—橫截面極慣性矩。
另一方面，直接利用剪切載荷準確的確定稱重傳感器上的切應力是極為困難的。對于剪切型軸銷式稱重傳感器更是如此，下面列舉了一些不夠**的原因：
（A）應變計是通過其柵長測量的是應變區的平均應變。如果在應變區內切應力的變化曲線非常陡，且應變計尺寸非常大，所測量的應變值就會比峰值小。
（B）*大切應力只用了直接作用于其上的*大剪切載荷的一部分。公式假設剪切載荷在一個已知的面積內，從底部到頂部較均勻分布，且切應力*大值均勻分布在中性軸上。
（C）稱重傳感器上的載荷分布還應與安裝接頭的影響相吻合，如剪切型軸銷式稱重傳感器，其載荷分布取決于軸銷與安裝接頭兩者之間的公差，所受載荷由于安裝間隙不同而異。
我們將討論三種切應力稱重傳感器。準確計算為保證所需輸出的彈性體尺寸，與以前所用的程序*一樣。首*行粗略計算，*后給出準確結果。切應力稱重傳感器尺寸大小的計算準確率，不如圓柱、彎曲和扭轉型稱重傳感器。
工字形截面切應力稱重傳感器
*普通的用于計算切應力的公式為：
式中：Sa—平均切應力。
V—剪切載荷。
A—受剪部分的截面積。
這個公式可以用來計算破壞載荷，但不能給出彈性體粘貼應變計處中性軸上切應力的*大值。對于切應力的*大值的計算公式，應隨著受剪截面的形狀不同而變化。
圖7 S形剪切式稱重傳感器
圖7是另一個S形稱重傳感器簡圖，除了利用剪切應力代替彎曲應力外，其它均無變化。圖中A-A截面對于兩個軸都是對稱的，從側面角度看呈現兩倍的尺寸關系。應變計粘貼在工字形截面的腹板上，其截面尺寸為b、c、d<%
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