微分幾何基礎

微分幾何是現代數學領域中的重要分支，在理論探索和實際應用中都是重要學科。大名鼎鼎的高斯、歐拉是微分幾何學派的創建者（是否記得多少公式和定理以這兩人的名字命名）。20世紀是微分幾何發展迅猛的100年，中國的數學家也做出過重要貢獻，如陳省身、邱成桐（菲爾茲獎得主）。在計算機領域，微分幾何是計算機圖形學的基礎，逼真酷炫的電腦游戲、電影等，都是在微分幾何基礎上的產業化。在機器人領域，核心控制系統需要合適的傳感器（如相機）獲取信息，并理解環境信息，屬于計算機視覺的范疇；如需完成復雜動作，如抓取、放置等操作，則需要理解物體的幾何信息，需要用幾何特征描述來決策機器人要執行的動作。

完成機器人抓取需要如下兩個過程：
·識別過程，屬于視覺和深度學習的范疇，在此不再贅述。
·獲取物體的三維空間描述，微分幾何。
三維空間中的物體有哪些特征呢？
 

曲率

為理解曲率，首先回到二維平面。什么是曲率？簡答說來，是幾何體的不平坦程度。平面曲線的曲率定義為其密切圓的倒數。采用微分的定義，密切圓在很小的范圍內同曲線重合。故平面中的圓所有點曲率一直，為半徑的倒數，密切圓為其本身。直線曲率處處為0，因其密切圓半徑無窮大。

曲線的密切圓和密切圓半徑。曲率為半徑的倒數。

三維空間中可用曲率描述曲面。包括兩個主曲率、高斯曲率、平局曲率等。點的主曲率是通過此點曲線大和小曲率。高斯曲率為兩個曲率之積，平均曲率則是兩個主曲率之平均。

一些特殊情況，如負曲率，如馬鞍型，常見使用：冷卻塔，廣州塔。

二次曲線（Conics）和二次曲面（Quadrics）

二次曲線也稱圓錐曲線，其在數學上的定位為一個正圓錐面和一個平面的相切形成的曲線。其公司可表述為：

其中A，B，C不得皆等于0。故常見的圓、橢圓、拋物線等皆屬于二次曲線。

二次曲面則是三維空間中常見的曲面，其一般公式為：

常見的二次曲面包括：


·橢球（Ellipsoid），形如

球體是橢球的一種特例


·雙曲面（Hyperbolic），形如

或

·圓錐體（elliptic cone），形如：

一些特殊二次曲面示例：

曲面擬合

在機器人抓取領域，一般采用深度相機作為傳感器。深度相機可直接獲取空間點云信息。對于特定物體的抓取，一般在檢測定位的基礎上，采用點云擬合的方式定位，從而獲取物體在深度相機坐標系下的位置和姿態。常用的擬合有如下幾種：

·平面擬合。空間中的平面可由空間中一點和法向量唯yi確定。常用擬合方案有，主成分分析；小二乘法；隨機采樣法（RANSAC）。
·圓柱擬合。實際抓取場景中經常碰到圓柱面物體的情況。實際點云擬合中，如果已知主軸方向，則可投影到平面中，做圓的擬合。如方向未知，可首先用PCA的方法確定主軸方向。

·球體擬合，看似復雜，實際只需確定圓心（一個點）和半徑。總共4個自由度（未知變量），可使用小二乘法或數值*化方法來確定。

不規則形狀

機器人抓取的實際場景中，一般曲面較為復雜，很難用簡單公式表述。對于復雜曲面（曲線），一般采用ICP（IterativeClosestPoint）的方案完成自由形狀的對齊。

總結

曲率是描述空間中的曲線或曲面重要的特征。一般來說，進行機器人抓取，需要首先利用圖像信息確定物體的圖像位置，然后通過深度相機獲取的點云信息技術其幾何特性，完成抓取過程。曲面擬合和ICP的方案仍然有許多細節，在機器人抓取中需要特別注意。