測(cè)量不確定度評(píng)定與表示

JJF1059—1999

    一切測(cè)量結(jié)果都不可避免地具有不確定度。《測(cè)量不確定度表示指南》（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement以下簡(jiǎn)稱GUM），由標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）計(jì)量技術(shù)顧問組第三工作組（ISO／TAG4／WG3）起草，于1993年以7個(gè)組織的名義聯(lián)合發(fā)布，這7個(gè)組織是標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）、電工委員會(huì)（IEC）、*（BIPM）、法制計(jì)量組織（OIML）、理論化學(xué)與應(yīng)用化學(xué)聯(lián)合會(huì)（IUPAC）、理論物理與應(yīng)用物理聯(lián)合會(huì)（IUPAP）、臨床化學(xué)聯(lián)合會(huì)（IFCC）。GUM采用當(dāng)前通行的觀點(diǎn)和方法，使涉及測(cè)量的技術(shù)領(lǐng)域和部門，可以用統(tǒng)一的準(zhǔn)則對(duì)測(cè)量結(jié)果及其質(zhì)量進(jìn)行評(píng)定、表示和比較。在我國(guó)實(shí)施GUM，不僅是不同學(xué)科之間交往的需要，也是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的需要。本規(guī)范給出的的方法從易于理解、便于操作、利于過渡出發(fā)，原則上等同采用GUM的基本內(nèi)容，對(duì)科學(xué)研究、工程技術(shù)及商貿(mào)中大量存在的測(cè)量結(jié)果的處理和表示，均具有適用性。本規(guī)范的目的是：

    ——提出如何以完整的信息評(píng)定與表示測(cè)量不確定度；

    ——提供對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行比較的基礎(chǔ)。

    評(píng)定與表示測(cè)量不確定度的方法滿足以下要求：

    a）適用于各種測(cè)量和測(cè)量中所用到的各種輸入數(shù)據(jù)，即具有普遍適用性。

    b）在本方法中表示不確定度的量應(yīng)該：

    ——能從對(duì)不確定度有貢獻(xiàn)的分量導(dǎo)出，且與這些分量怎樣分組無關(guān)，也與這些分量如何進(jìn)一步分解為下一級(jí)分量無關(guān)，即它們是內(nèi)部協(xié)調(diào)一致的；

    ——當(dāng)一個(gè)測(cè)量結(jié)果用于下一個(gè)測(cè)量時(shí)，其不確定度可作為下一個(gè)測(cè)量結(jié)果不確定度的分量，即它們是可傳播的。

    c）在諸如工業(yè)、商業(yè)及與健康或安全有關(guān)的某些領(lǐng)域中，往往要求提供較高概率的置信區(qū)間，本方法應(yīng)能方便地給出這樣的區(qū)間及相應(yīng)的置信概率。

    本規(guī)范給出了常見情況下，評(píng)定與表示測(cè)量不確定度的原則、方法和簡(jiǎn)要步驟，其中的舉例，旨在對(duì)原則和方法作詳細(xì)說明，以便于進(jìn)一步理解和有助于實(shí)際應(yīng)用。附錄中所用的基本符號(hào)，取自GUM及有關(guān)的ISO、IEC標(biāo)準(zhǔn)。

1   范圍

1.1   本規(guī)范所規(guī)定的測(cè)量中評(píng)定與表示不確定度的通用規(guī)則，適用于各種準(zhǔn)確度等級(jí)的測(cè)量領(lǐng)域，例如：

    a）建立國(guó)家計(jì)量基準(zhǔn)、計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)及其比對(duì)；

    b）標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)參考數(shù)據(jù)；

    c）測(cè)量方法、檢定規(guī)程、檢定系統(tǒng)、校準(zhǔn)規(guī)范等；

    d）科學(xué)研究及工程領(lǐng)域的測(cè)量；

    e）計(jì)量認(rèn)證、計(jì)量確認(rèn)、質(zhì)量認(rèn)證以及實(shí)驗(yàn)室認(rèn)可；

    f）測(cè)量?jī)x器的校準(zhǔn)和檢定；

    g）生產(chǎn)過程的質(zhì)量保證以及產(chǎn)品的檢驗(yàn)和測(cè)試；

    h）貿(mào)易結(jié)算、醫(yī)療衛(wèi)生、安全防護(hù)、環(huán)境監(jiān)測(cè)及資源測(cè)量。

1.2   本規(guī)范主要涉及有明確定義的，并可用*值表征的被測(cè)量估計(jì)值的不確定度。至于被測(cè)量呈現(xiàn)為一系列值的分布或取決于一個(gè)或多個(gè)參量（例如，以時(shí)間為參變量），則對(duì)被測(cè)量的描述是一組量，應(yīng)給出其分布情況及其相互關(guān)系。

2   基本術(shù)語及其概念

    本規(guī)范中所使用的術(shù)語及其定義與《JJF1001——1998通用計(jì)量術(shù)語及定義》一致，但其中楷體字的內(nèi)容為本規(guī)范所增加。

2.1   ［可測(cè)量的］*量［measurable］quantity

    *方括號(hào)［   ］中的字一般可省略，下同。

    現(xiàn)象、物體或物質(zhì)可定性區(qū)別和定量確定的屬性。

    注：

    1   術(shù)語“量”可指一般意義的量或特定量。一般意義的量如長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量、溫度、電阻、物質(zhì)的量濃度；特定量如某根棒的長(zhǎng)度，某根導(dǎo)線的電阻，某份酒樣中乙醇的濃度。

    2   可相互比較并按大小排序的量稱為同種量。若干同種量合在一起可稱之為同類量，如功、熱、能；厚度、周長(zhǎng)、波長(zhǎng)。

    3   量的符號(hào)參照《GB3100～3102—1993量和單位》。

2.2   量值   value of a quantity

    一般由一個(gè)數(shù)乘以測(cè)量單位所表示的特定量的大小。

    例：5.34m或534cm，15kg，10s,－40℃。

    注：對(duì)于不能由一個(gè)數(shù)乘以測(cè)量單位所表示的量，可參照約定參考標(biāo)尺，或參照測(cè)量程序，或兩者都參照的方式表示。

2.3   ［量的］真值   true value［of a quantity］

    與給定的特定量定義一致的值。

    注：

    1   量的真值只有通過完善的測(cè)量才有可能獲得。

    2   真值按其本性是不確定的。

    3   與給定的特定量定義一致的值不一定只有一個(gè)。

    4   GUM用“被測(cè)量之值”代替“真值”。在不致引起混淆時(shí)，推薦這一用法。

2.4   ［量的］約定真值   conventional true value［of a quantity］

    對(duì)于給定目的具有適當(dāng)不確定度的、賦予特定量的值，有時(shí)該值是約定采用的。

    例：a）在給定地點(diǎn)，取由參考標(biāo)準(zhǔn)復(fù)現(xiàn)而賦予該量的值作為約定真值。

        b）常數(shù)委員會(huì)（CODATA）1986年推薦的阿伏加德羅常數(shù)值6.0221367×10²³mol^－1。

    注：

    1   約定真值有時(shí)稱為值、*估計(jì)值、約定值或參考值。參考值在這種意義上使用不應(yīng)與參考條件中的參考值混淆。

    2   常用某量的多次測(cè)量結(jié)果來確定約定真值。

2.5   被測(cè)量   measurand

    作為測(cè)量對(duì)象的特定量。

    例：給定的水樣品在20℃時(shí)的蒸汽壓力。

    注：

    1   對(duì)被測(cè)量的詳細(xì)描述，可要求包括對(duì)其他有關(guān)量（如時(shí)間、溫度和壓力）作出說明。

    2   實(shí)踐中，被測(cè)量應(yīng)根據(jù)所需準(zhǔn)確度予以完整定義，以便對(duì)所有的測(cè)量，其值是單一的。例如：一根標(biāo)稱值為1m長(zhǎng)的鋼棒其長(zhǎng)度需測(cè)至微米級(jí)準(zhǔn)確度，其技術(shù)說明應(yīng)包括給定溫度和壓力。但若只需毫米級(jí)準(zhǔn)確度，則無需規(guī)定溫度、壓力和其他影響量的值。

2.6   測(cè)量結(jié)果   result of a measurement

    由測(cè)量所得到的賦予被測(cè)量的值。

    注：

    1   在給出測(cè)量結(jié)果時(shí)，應(yīng)說明它是示值、未修正測(cè)量結(jié)果或已修正測(cè)量結(jié)果，還應(yīng)表明它是否為若干個(gè)值的平均值。

    2   在測(cè)量結(jié)果的完整表述中，應(yīng)包括測(cè)量不確定度，必要時(shí)還應(yīng)說明有關(guān)影響量的取值范圍。

    3   測(cè)量結(jié)果僅是被測(cè)量之值的估計(jì)。

    4   很多情況下，測(cè)量結(jié)果是在重復(fù)觀測(cè)的情況下確定的。

    5   在測(cè)量結(jié)果的完整表述中，還應(yīng)給出自由度。

2.7   測(cè)量準(zhǔn)確度   accuracy of measurement

    測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量的真值之間的一致程度。

    注：

    1   不要用術(shù)語“精密度”代替“準(zhǔn)確度”。

    2   準(zhǔn)確度是一個(gè)定性概念。例如：可以說準(zhǔn)確度高低、準(zhǔn)確度為0.25級(jí)、準(zhǔn)確度為3等及準(zhǔn)確度符合××標(biāo)準(zhǔn)；盡量不使用如下表示：準(zhǔn)確度為0.25%、16mg、≤16mg及±16mg。

2.8   ［測(cè)量結(jié)果的］重復(fù)性   repeatability［of results of measurements］

    在相同測(cè)量條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行連續(xù)多次測(cè)量所得結(jié)果之間的一致性。

    注：

    1   這些條件稱為“重復(fù)性條件”。

    2   重復(fù)性條件包括：

    相同的測(cè)量程序；

    相同的觀測(cè)者；

    在相同的條件下使用相同的測(cè)量?jī)x器；

    相同地點(diǎn)；

    在短時(shí)間內(nèi)重復(fù)測(cè)量。

    3   重復(fù)性可以用測(cè)量結(jié)果的分散性定量地表示。

    4   重復(fù)性用在重復(fù)性條件下，重復(fù)觀測(cè)結(jié)果的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差（稱為重復(fù)性標(biāo)準(zhǔn)差）s_r定量地給出。

    5   重復(fù)觀測(cè)中的變動(dòng)性，是由于所有影響結(jié)果的影響量不能*保持恒定而引起的。

2.9   ［測(cè)量結(jié)果的］復(fù)現(xiàn)性   reproducibility［of results of measurements］

    在改變了的測(cè)量條件下，同一被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果之間的一致性。

    注：

    1   在給出復(fù)現(xiàn)性時(shí)，應(yīng)有效說明改變條件的詳細(xì)情況。

    2   可改變的條件包括：

    測(cè)量原理；

    測(cè)量方法；

    觀測(cè)者；

    測(cè)量?jī)x器；

    參考測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)；

    地點(diǎn)；

    使用條件；

    時(shí)間。

    3   復(fù)現(xiàn)性可用測(cè)量結(jié)果的分散性定量地表示。

    4   測(cè)量結(jié)果在這里通常理解為已修正結(jié)果。

    5   在復(fù)現(xiàn)性條件下，復(fù)現(xiàn)性用重復(fù)觀測(cè)結(jié)果的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差（稱為復(fù)現(xiàn)性標(biāo)準(zhǔn)差）s_Ｒ定量地給出。

    6   又稱為“再現(xiàn)性”。

2.10   實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)［偏］差   experimental standard deviation

    對(duì)同一被測(cè)量作n次測(cè)量，表征測(cè)量結(jié)果分散性的量s可按下式算出：

                                          （1）

式中q_k是第k次測(cè)量結(jié)果； 是n次測(cè)量的算術(shù)平均值。

    注：

    1   當(dāng)將n個(gè)測(cè)量結(jié)果視作分布的樣本時(shí)， 是該分布的期望值 _q的無偏估計(jì)，實(shí)驗(yàn)方差s^２（q_k）是這一分布的方差 ^２的無偏估計(jì)。

    2   s（q_k）／ 為 的分布的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)，稱為平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。

    3   將平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差稱為平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差是不正確的。

    4   s（q_k）與s（q_k）／n的自由度相同，均為n－1。

    5   式（1）稱為貝塞爾公式。

2.11   ［測(cè)量］不確定度   uncertainty［of a measurement］

    表征合理地賦予被測(cè)量之值的分散性，與測(cè)量結(jié)果相的參數(shù)。

    注：

    1   此參數(shù)可以是諸如標(biāo)準(zhǔn)差或其倍數(shù)，或說明了置信水準(zhǔn)的區(qū)間的半寬度。

    2   測(cè)量不確定度由多個(gè)分量組成。其中一些分量可用測(cè)量列結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分布估算， 并用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差表征。

另一些分量則可用基于經(jīng)驗(yàn)或其他信息的假定概率分布估算，也可用標(biāo)準(zhǔn)差表征。

    3   測(cè)量結(jié)果應(yīng)理解為被測(cè)量之值的*估計(jì)，全部不確定度分量均貢獻(xiàn)給了分散性，包括那些由系統(tǒng)效應(yīng)

引起的（如，與修正值和參考測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)的）分量。

    4   不確定度恒為正值。當(dāng)由方差得出時(shí)，取其正平方根。

    5   不確定度一詞指可疑程度，廣義而言，測(cè)量不確定度意為對(duì)測(cè)量結(jié)果正確性的可疑程度。不帶形容詞的

不確定度用于一般概念，當(dāng)需要明確某一測(cè)量結(jié)果的不確定度時(shí)，要適當(dāng)采用一個(gè)形容詞，比如合成不確定度或擴(kuò)展

不確定度；但不要用隨機(jī)不確定度和系統(tǒng)不確定度這兩個(gè)術(shù)語，必要時(shí)可用隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度和系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致

的不確定度來說明。

    6   《JJF1001—1998通用計(jì)量術(shù)語及定義》給出的上述不確定度定義是可操作的定義，即著眼于測(cè)量結(jié)果

及其分散性。雖然如此，這個(gè)定義從概念上來說與下述曾使用過的定義并不矛盾：

    ——由測(cè)量結(jié)果給出的被測(cè)量估計(jì)值的可能誤差的度量。

    ——表征被測(cè)量的真值所處范圍的評(píng)定。

    不論采用以上哪一種不確定度的概念，其評(píng)定方法均相同，表達(dá)形式也一樣。

    7   本術(shù)語中的方括弧系本規(guī)范按GUM所加。

2.12   標(biāo)準(zhǔn)不確定度   standard uncertainty

    以標(biāo)準(zhǔn)差表示的測(cè)量不確定度。

2.13   不確定度的A類評(píng)定   type A evaluation of uncertainty

    用對(duì)觀測(cè)列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，來評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

    注：不確定度的A類評(píng)定，有時(shí)又稱為A類不確定度評(píng)定。

2.14   不確定度的B類評(píng)定   type B evaluation of uncertainty

    用不同于對(duì)觀測(cè)列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，來評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

    注：不確定度的B類評(píng)定，有時(shí)又稱為B類不確定度評(píng)定。

2.15   合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度   combined standard uncertainty

    當(dāng)測(cè)量結(jié)果是由若干個(gè)其他量的值求得時(shí)，按其他各量的方差或（和）協(xié)方差算得的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

    注：它是測(cè)量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值。

2.16   擴(kuò)展不確定度   expanded uncertainty

    確定測(cè)量結(jié)果區(qū)間的量，合理賦予被測(cè)量之值分布的大部分可望含于此區(qū)間。

    注：擴(kuò)展不確定度有時(shí)也稱展伸不確定度或范圍不確定度。

2.17   包含因子   coverage factor

    為求得擴(kuò)展不確定度，對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度所乘之?dāng)?shù)字因子。

    注：

    1   包含因子等于擴(kuò)展不確定度與合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度之比。

    2   包含因子有時(shí)也稱覆蓋因子。

    3   根據(jù)其含義可分為兩種：k＝U／u_c;k_p＝U_p／u_c。

    4   一般在2～3范圍內(nèi)。

    5   下腳標(biāo)p為置信概率，即置信區(qū)間所需要的概率。

2.18   自由度   degrees of freedom

    在方差的計(jì)算中，和的項(xiàng)數(shù)減去對(duì)和的限制數(shù)。

    注：

    1   在重復(fù)性條件下，對(duì)被測(cè)量作n次獨(dú)立測(cè)量時(shí)所得的樣本方差 其中殘差為

。因此，和的項(xiàng)數(shù)即為殘差的個(gè)數(shù)n，而 ,是一個(gè)約束條件，即限制

數(shù)為1。由此可得自由度v＝n－1。

    2   當(dāng)測(cè)量所得n組數(shù)據(jù)用t個(gè)未知數(shù)按zui小二乘法確定經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜁r(shí)，自由度v＝n－t。

    3   自由度反映相應(yīng)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差的可靠程度，用于在評(píng)定擴(kuò)展不確定度U_p時(shí)求得包含因子kp。合成標(biāo)準(zhǔn)不確

定度u_c（y）的自由度，稱為有效自由度ν_eff，當(dāng)y接近正態(tài)分布時(shí)，包含因子等于t分布臨界值，即k_p＝t_p（v_eff）。

2.19   置信概率   confidence level;level of confidence

      與置信區(qū)間或統(tǒng)計(jì)包含區(qū)間有關(guān)的概率值（1－α）。

    注：

    1   符號(hào)為p,p＝1－α。

    2   經(jīng)常用百分?jǐn)?shù)表示。

    3   又稱置信水平，置信系數(shù)，置信水準(zhǔn)。

2.20   ［測(cè)量］誤差   error［of measurement］

    測(cè)量結(jié)果減去被測(cè)量的真值。

    注：

    1   由于真值不能確定，實(shí)際上用的是約定真值。

    2   當(dāng)有必要與相對(duì)誤差相區(qū)別時(shí)，此術(shù)語有時(shí)稱為測(cè)量的誤差。注意不要與誤差的值相混淆，后者為誤差的模。

       3   誤差之值只取一個(gè)符號(hào)，非正即負(fù)。

    4   誤差與不確定度是*不同的兩個(gè)概念，不應(yīng)混淆或誤用。對(duì)同一被測(cè)量不論其測(cè)量程序、條件如何，相同測(cè)量結(jié)果的誤差相同；而在重復(fù)性條件下，則不同結(jié)果可有相同的不確定度。

    5   測(cè)量?jī)x器的特性可以用［示值］誤差、zui大允許誤差等術(shù)語描述。

    6   隨機(jī)誤差：測(cè)量結(jié)果與重復(fù)性條件下對(duì)同一量進(jìn)行無限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差。由于實(shí)際上只能進(jìn)行有限次測(cè)量，因而只能得出這一測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差的估計(jì)值。隨機(jī)誤差大抵是由影響量的隨機(jī)時(shí)空變化所引起，這種變化帶來的影響稱為隨機(jī)效應(yīng)，它們導(dǎo)致重復(fù)觀測(cè)中的分散性。

    7   系統(tǒng)誤差：在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值與被測(cè)量真值之差。由于系統(tǒng)誤差及其原因不能*獲知，因此通過修正值對(duì)系統(tǒng)誤差只能有限程度的補(bǔ)償。當(dāng)測(cè)量結(jié)果以代數(shù)和與修正值相加之后，其系統(tǒng)誤差之模會(huì)比修正前的要小，但不可能為零。來源于影響量的已識(shí)別的效應(yīng)稱為系統(tǒng)效應(yīng)。

2.21   修正值   correction

    用代數(shù)法與未修正測(cè)量結(jié)果相加，以補(bǔ)償其系統(tǒng)誤差的值。

    注：

    1   修正值等于負(fù)的系統(tǒng)誤差。

    2   由于系統(tǒng)誤差不能*獲知，因此這種補(bǔ)償并不*。

    3   為補(bǔ)償系統(tǒng)誤差，而與未修正測(cè)量結(jié)果相乘的因子稱為修正因子。

    4   已修正的測(cè)量結(jié)果即使具有較大的不確定度，但可能仍十分接近被測(cè)量的真值 （即誤差甚小），因此，不應(yīng)把測(cè)量不確定度與已修正結(jié)果的誤差相混淆。

2.22   相關(guān)系數(shù)   correlation coefficient

    相關(guān)系數(shù)是兩個(gè)變量之間相互依賴性的度量，它等于兩個(gè)變量間的協(xié)方差除以各自方差之積的正平方根，因此

其估計(jì)值

    相關(guān)系數(shù)是一個(gè)純數(shù)，－1≤ ≤+1或－1≤r（y_i,z_i）≤+1

    注：

    1   和r是－1和+1范圍內(nèi)的純數(shù)，而協(xié)方差通常具有不方便的量綱。因此，通常相關(guān)系數(shù)比協(xié)方差更有

用。

    2   對(duì)于多變量概率分布，通常給出相關(guān)系數(shù)矩陣，而不是協(xié)方差矩陣。由于 （y,y）＝1和r（y_i,y_i）＝1，

所以該矩陣的對(duì)角線元素為1。

    3   如果輸入估計(jì)值x_i和x_j是相關(guān)的，并且x_i變化 _i，使x_j產(chǎn)生變化 _j，則與x_i和x_j相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)由下

式近似估計(jì)

r（x_i,x_j）≈u（x_i） _j／u（x_j） _i

    這個(gè)關(guān)系式可以用作基本的相關(guān)系數(shù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)公式。如果兩者的相關(guān)系數(shù)已知，那么此式也可用于計(jì)算由一個(gè)輸入估計(jì)值變化而引起另一個(gè)變化的近似值。

2.23   獨(dú)立   independence

    如果兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布是它們每個(gè)概率分布的乘積，那么這兩個(gè)隨機(jī)變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

    注：如果兩個(gè)隨機(jī)變量是獨(dú)立的，那么它們的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)等于零，但反之不一定成立。

3   產(chǎn)生測(cè)量不確定度的原因和測(cè)量模型化

3.1   測(cè)量過程中的隨機(jī)效應(yīng)及系統(tǒng)效應(yīng)均會(huì)導(dǎo)致測(cè)量不確定度，數(shù)據(jù)處理中的修約也會(huì)導(dǎo)致不確定度。這些從產(chǎn)生不確定度的原因上所作的分類，與從評(píng)定方法上所作的A、B分類之間不存在任何。

    A、B分類旨在指出評(píng)定的方法不同，只是為了便于理解和討論，并不意味著兩類分量之間存在本質(zhì)上的區(qū)別。它們都基于概率分布，并都用方差或標(biāo)準(zhǔn)差定量表示，為方便起見而稱為A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度和B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度。表征A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的估計(jì)方差u^２，是由一系列重復(fù)觀測(cè)值計(jì)算得到的，即為統(tǒng)計(jì)方差估計(jì)值s^２。標(biāo)準(zhǔn)不確定度u為u^２的正平方根值，故u＝s。Ｂ類標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的方差估計(jì)值u^２，則是根據(jù)有關(guān)信息來評(píng)定的，即通過一個(gè)假定的概率密度函數(shù)得到的，此函數(shù)基于事件發(fā)生的可信程度，即主觀概率或先驗(yàn)概率。

3.2   測(cè)量結(jié)果的不確定度反映了對(duì)被測(cè)量之值的認(rèn)識(shí)不足，借助于已查明的系統(tǒng)效應(yīng)對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正后，所得到的只是被測(cè)量的估計(jì)值，而修正值的不確定度以及隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度依然存在。

3.3   測(cè)量中可能導(dǎo)致不確定度的來源一般有：

    a）被測(cè)量的定義不完整；

    b）復(fù)現(xiàn)被測(cè)量的測(cè)量方法不理想；

    c）取樣的代表性不夠，即被測(cè)樣本不能代表所定義的被測(cè)量；

    d）對(duì)測(cè)量過程受環(huán)境影響的認(rèn)識(shí)不恰如其分或?qū)Νh(huán)境的測(cè)量與控制不完善；

    e）對(duì)模擬式儀器的讀數(shù)存在人為偏移；

    f）測(cè)量?jī)x器的計(jì)量性能（如靈敏度、鑒別力閾、分辨力、死區(qū)及穩(wěn)定性等）的局限性；

    g）測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)或標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的不確定度；

    h）引用的數(shù)據(jù)或其他參量的不確定度；

    i）測(cè)量方法和測(cè)量程序的近似和假設(shè)；

    j）在相同條件下被測(cè)量在重復(fù)觀測(cè)中的變化。

    上述不確定度的來源可能相關(guān)，例如，第j項(xiàng)可能與前面各項(xiàng)有關(guān)。

    對(duì)于那些尚未認(rèn)識(shí)到的系統(tǒng)效應(yīng)，顯然是不可能在不確定度評(píng)定中予以考慮的，但它可能導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果的誤差。

3.4   測(cè)量不確定度通常由測(cè)量過程的數(shù)學(xué)模型和不確定度的傳播律來評(píng)定。由于數(shù)學(xué)模型可能不完善，所有有關(guān)的量應(yīng)充分地反映其實(shí)際情況的變化，以便可以根據(jù)盡可能多的觀測(cè)數(shù)據(jù)來評(píng)定不確定度。在可能情況下，應(yīng)采用按長(zhǎng)期積累的數(shù)據(jù)建立起來的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀：瞬闃?biāo)準(zhǔn)和控制圖可以表明測(cè)量過程是否處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)之中，有助于數(shù)學(xué)模型的建立和測(cè)量不確定度的評(píng)定。

3.5   在修正值的不確定度較小且對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的貢獻(xiàn)可忽略不計(jì)的情況下，可不予考慮。如果修正值本身與合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度比起來也很小時(shí)，修正值可不加到測(cè)量結(jié)果之中。

3.6   在實(shí)際工作中，尤其是在法制計(jì)量領(lǐng)域中，被測(cè)量通過與相應(yīng)的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)相比較獲得其估計(jì)值。對(duì)于測(cè)量所要求的準(zhǔn)確度來說，測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)的不確定度及比較過程導(dǎo)致的不確定度，通常可以忽略不計(jì)。例如，用校準(zhǔn)過的標(biāo)準(zhǔn)砝碼檢定商用臺(tái)案秤。

3.7   當(dāng)某些被測(cè)量是通過與物理常量相比較得出其估計(jì)值時(shí)，按常數(shù)或常量來報(bào)告測(cè)量結(jié)果，可能比用測(cè)量單位來報(bào)告測(cè)量結(jié)果，有較小的不確定度。例如，一臺(tái)高質(zhì)量的齊納電壓標(biāo)準(zhǔn)（Zener voltage standard）通過與約瑟夫遜效應(yīng)電壓基準(zhǔn)相比較而被校準(zhǔn)，該基準(zhǔn)是以計(jì)量委員會(huì)（CIPM）向推薦的約瑟夫遜常量K_１－90的約定值為基礎(chǔ)的，當(dāng)按約定的K_1－90作為單位來報(bào)告測(cè)量結(jié)果時(shí)，齊納電壓標(biāo)準(zhǔn)的已校準(zhǔn)電壓Vs的相對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_crel（V_s）＝u_c（V_s）／V_s＝2×10^－8。然而，當(dāng)V_s按電壓的單位伏特給出時(shí)，u_crel（V_s）＝4×10^－7，因?yàn)?em>K_１－90用Hz／V表示其量值時(shí)引入了不確定度。

3.8   在測(cè)量不確定度評(píng)定中，也必須剔除測(cè)量結(jié)果中的異常值（通常由于讀取、記錄或分析數(shù)據(jù)的失誤所導(dǎo)致）。異常值的剔除應(yīng)通過對(duì)數(shù)據(jù)的適當(dāng)檢驗(yàn)進(jìn)行（例如，按《GB 4883—1985正態(tài)分布中異常值的判斷和處理》）。

3.9   測(cè)量中，被測(cè)量Y（即輸出量）由N個(gè)其他量X₁，X₂，…，X_N，通過函數(shù)關(guān)系f來確定，即：

Y＝f（X₁,X₂,…,X_Ｎ）                                            （2）

      式中，Ｘ_i是對(duì)Y的測(cè)量結(jié)果y產(chǎn)生影響的影響量（即輸入量）。式（2）稱為測(cè)量模型或數(shù)學(xué)模型。

    如被測(cè)量Y的估計(jì)值為y，輸入量X_i的估計(jì)值為x_i,則有：

y＝f（x₁,x₂,…，x_N）                                            （3）

      式（2）中大寫字母表示的量的符號(hào)，在本規(guī)范中既代表可測(cè)的量，也代表隨機(jī)變量。當(dāng)敘述為X_i具有某概率分布時(shí)，這個(gè)符號(hào)的含義就是后者。

    在一列觀測(cè)值中，第k個(gè)X_i的觀測(cè)值用X_ik表示。如電阻器的電阻符號(hào)為R，則其觀測(cè)列中的第k次值表示為R_k。

    又如，一個(gè)隨溫度t變化的電阻器兩端的電壓為V，在溫度為t_０時(shí)的電阻為R₀，電阻器的溫度系數(shù)為α，則電阻器的損耗功率P（被測(cè)量）取決于V，R₀，α和t，即：

                        （4）

    測(cè)量損耗功率P的其他方法可能有不同的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型與測(cè)量程序有關(guān)。

3.10   輸出量Y的輸入量X_１,X₂，…X_N本身可看作被測(cè)量，也可取決于其他量，甚至包括具有系統(tǒng)效應(yīng)的修正值，從而可能導(dǎo)出一個(gè)十分復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系式，以至函數(shù)f不能明確地表示出來。f也可以用實(shí)驗(yàn)的方法確定，甚至只用數(shù)值方程給出（數(shù)值方程為物理方程的一種，用于表示在給定測(cè)量單位的條件下，數(shù)值之間的關(guān)系，而無物理量之間的關(guān)系）。因此，如果數(shù)據(jù)表明f沒有能將測(cè)量過程模型化至測(cè)量所要求的準(zhǔn)確度，則必須在f中增加輸入量，即增加影響量。例如，在3.9的例中，再增加以下輸入量：電阻器上已知的溫度非均勻分布、電阻溫度系數(shù)的非線性關(guān)系、電阻R與大氣壓力p_amb的關(guān)系等。

    式（2）也可能簡(jiǎn)單到Y＝X₁－X₂,甚至Y＝X。

3.11   式（3）中，被測(cè)量Y的*估計(jì)值y在通過輸入量X₁，X₂，…，X_N的估計(jì)值x_１，x₂…,x_N得出時(shí)，可有以下兩種方法：

    a）

                             （5）

式中   y是取Y的n次獨(dú)立觀測(cè)值y_k的算術(shù)平均值，其每個(gè)觀測(cè)值y_k的不確定度相同，且每個(gè)y_k都是根據(jù)同時(shí)獲得的N個(gè)輸入量X_i的一組完整的觀測(cè)值求得的。

    b）

                                       （6）

      式中， ，它是獨(dú)立觀測(cè)值x_i,k的算術(shù)平均值。這一方法的實(shí)質(zhì)是先求X_i的*估計(jì)值x_i，再通過函數(shù)關(guān)系式得出y。

    以上兩種方法，當(dāng)f是輸入量X_i的線性函數(shù)時(shí)，它們的結(jié)果相同。但當(dāng)f是X_i的非線性函數(shù)時(shí)，（5）式的計(jì)算方法較為*。

3.12   輸入量X₁，X₂，…，X_N可以是：

    ——由當(dāng)前直接測(cè)定的量。它們的值與不確定度可得自單一觀測(cè)、重復(fù)觀測(cè)、依據(jù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)信息的估計(jì)，并可包含測(cè)量?jī)x器讀數(shù)修正值，以及對(duì)周圍溫度、大氣壓、濕度等影響的修正值。

    ——由外部來源引入的量。如已校準(zhǔn)的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)、有證標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)、由手冊(cè)所得的參考數(shù)據(jù)等。

    x_i的不確定度是y的不確定度的來源。尋找不確定度來源時(shí)，可從測(cè)量?jī)x器、測(cè)量環(huán)境、測(cè)量人員、測(cè)量方法、被測(cè)量等方面全面考慮，應(yīng)做到不遺漏、不重復(fù)，特別應(yīng)考慮對(duì)結(jié)果影響大的不確定度來源。遺漏會(huì)使y的不確定度過小，重復(fù)會(huì)使y的不確定度過大。

    評(píng)定y的不確定度之前，為確定Y的*值，應(yīng)將所有修正量加入測(cè)得值，并將所有測(cè)量異常值剔除。

    y的不確定度將取決于x_i的不確定度，為此首先應(yīng)評(píng)定x_i的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（x_i）。評(píng)定方法可歸納為A、B兩類。

4   標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評(píng)定

4.1   基本方法

      在重復(fù)性條件或復(fù)現(xiàn)性條件下得出n個(gè)觀測(cè)結(jié)果x_k，隨機(jī)變量x的期望值 _x的*估計(jì)是n次獨(dú)立觀測(cè)結(jié)果的算術(shù)平均值 （ 又稱為樣本平均值）：

                                                 （7）

由于影響量的隨機(jī)變化或隨機(jī)效應(yīng)時(shí)空影響的不同，每次獨(dú)立觀測(cè)值x_k不一定相同，它與 之差稱為殘差v，

v_k＝x_k－                                                  （8）

  觀測(cè)值的實(shí)驗(yàn)方差按式（1）為：

                                        （9）

    式中，s^２（x_k）是x_k的概率分布的總體方差 _２的無偏估計(jì)，其正平方根s（x_k）表征了xk的分散性。確切地說，表征了它們?cè)趚上下的分散性。x（x_k）稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差或?qū)嶒?yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，表示實(shí)驗(yàn)測(cè)量列中任一次測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差。通常以獨(dú)立觀測(cè)列的算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為s（x）＝s（x_k）／ ＝u（ ）。

    觀測(cè)次數(shù)n應(yīng)充分多，以使x成為x的期望值 _x的可靠估計(jì)值，并使s^２（x_k）成為 ^２的可靠估計(jì)值；從而也使u（x_k）更為可靠。

    盡管方差s^２（x）在不確定度評(píng)定與表示中是更為基本的量，但由于標(biāo)準(zhǔn)差s（x）與x有相同量綱，較為直觀和便于理解，故使用得更為廣泛。

4.2   對(duì)一個(gè)測(cè)量過程，若采用核查標(biāo)準(zhǔn)或控制圖的方法使其處于統(tǒng)計(jì)控制狀態(tài)，則該統(tǒng)計(jì)控制下，測(cè)量過程的合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差s_p表示為：

                                              （10）

    式中，s_i為每次核查時(shí)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差；k為核查次數(shù)。在相同情況下，由該測(cè)量過程對(duì)被測(cè)量X進(jìn)行n次重復(fù)觀測(cè)，以算術(shù)平均值 作為測(cè)量結(jié)果，則該結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

u（ ）＝s_p／                                             （11）

4.3   在規(guī)范化的常規(guī)測(cè)量中，如對(duì)被測(cè)量x_i都進(jìn)行了重復(fù)性條件下或復(fù)現(xiàn)性條件下的n次獨(dú)立觀測(cè)，有x_i1,x_i2,…,x_in,其平均值為 _i,如有m組這樣的被測(cè)量，按下式可得 為：

                                （12）

如這m組已分別按其重復(fù)次數(shù)算出了各次實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s_i，則s_p可按下式給出：

                                       （13）

    式（12）和（13）給出的s_p，自由度為m（n－1）。

    如對(duì)m個(gè)被測(cè)量X_i所重復(fù)的次數(shù)不*相同，設(shè)各為n_i，而X_i的標(biāo)準(zhǔn)差s（x_i）的自由度為v_i＝n_i－１，通過m個(gè)s_i與v_i可得 為：

                                     （14）

    自由度為 。

4.4   在重復(fù)性條件或復(fù)現(xiàn)性條件下，對(duì)X_i進(jìn)行n次獨(dú)立觀測(cè)，計(jì)算結(jié)果中的zui大值與zui小值之差R（稱為極差），在X_i可以估計(jì)接近正態(tài)分布的前提下，單次測(cè)量結(jié)果x_i的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s（x_i）可按下式近似地評(píng)定：

                                              （15）

      式（15）中系數(shù)C及自由度v如下表：

表 1   極差系數(shù)C及自由度v

    一般在測(cè)量次數(shù)較小時(shí)采用該法。

4.5   當(dāng)輸入量X_i的估計(jì)值x_i是由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用zui小二乘法擬合的曲線上得到時(shí)，曲線上任何一點(diǎn)和表征曲線擬合參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，可用有關(guān)的統(tǒng)計(jì)程序評(píng)定。

4.6   在重復(fù)性條件下所得的測(cè)量列的不確定度，通常比用其他評(píng)定方法所得到的不確定度更為客觀，并具有統(tǒng)計(jì)學(xué)的嚴(yán)格性，但要求有充分的重復(fù)次數(shù)。此外，這一測(cè)量程序中的重復(fù)觀測(cè)值，應(yīng)相互獨(dú)立。例如：

    a）被測(cè)量是一批材料的某一特性，所有重復(fù)觀測(cè)值來自同一樣品，而取樣又是測(cè)量程序的一部分，則觀測(cè)值不具有獨(dú)立性，必須把不同樣本間可能存在的隨機(jī)差異導(dǎo)致的不確定度分量考慮進(jìn)去；

    b）測(cè)量?jī)x器的調(diào)零是測(cè)量程序的一部分，重新調(diào)零應(yīng)成為重復(fù)性的一部分；

    c）通過直徑的測(cè)量計(jì)算圓的面積，在直徑的重復(fù)測(cè)量中，應(yīng)隨機(jī)地選取不同的方向觀測(cè)；

    d）當(dāng)使用測(cè)量?jī)x器的同一測(cè)量段進(jìn)行重復(fù)測(cè)量時(shí)，測(cè)量結(jié)果均帶有相同的這一測(cè)量段的誤差，而降低了測(cè)量結(jié)果間的相互獨(dú)立性；

    e）在一個(gè)氣壓表上重復(fù)多次讀取示值，把氣壓表擾動(dòng)一下，然后讓它恢復(fù)到平衡狀態(tài)再進(jìn)行讀數(shù)，因?yàn)榧词勾髿鈮毫Σo變化，還可能存在示值和讀數(shù)的方差。

4.7   如果被測(cè)量估計(jì)值x_i在多次觀測(cè)中存在相關(guān)的隨機(jī)效應(yīng)，例如，都與時(shí)間有關(guān)，則按本規(guī)范計(jì)算是不妥的。在這種情況下，應(yīng)采用專門為相關(guān)的隨機(jī)變量測(cè)量列的數(shù)據(jù)處理設(shè)計(jì)的統(tǒng)計(jì)方法來分析觀測(cè)值。例如，在晶振頻率測(cè)量中，由于噪聲導(dǎo)致理論方差發(fā)散，從而需采用阿倫方差。

5   標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評(píng)定

5.1   獲得B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的信息來源一般有：

    a）以前的觀測(cè)數(shù)據(jù)；

    b）對(duì)有關(guān)技術(shù)資料和測(cè)量?jī)x器特性的了解和經(jīng)驗(yàn)；

    c）生產(chǎn)部門提供的技術(shù)說明文件；

    d）校準(zhǔn)證書、檢定證書或其他文件提供的數(shù)據(jù)、準(zhǔn)確度的等別或級(jí)別，包括目前暫在使用的極限誤差等；

    e）手冊(cè)或某些資料給出的參考數(shù)據(jù)及其不確定度；

    f）規(guī)定實(shí)驗(yàn)方法的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)或類似技術(shù)文件中給出的重復(fù)性限r或復(fù)現(xiàn)性限R。

    用這類方法得到的估計(jì)方差u^２（x_i），可簡(jiǎn)稱為B類方差。

5.2   如估計(jì)值x_i來源于制造部門的說明書、校準(zhǔn)證書、手冊(cè)或其他資料，其中同時(shí)還明確給出了其不確定度U（x_i）是標(biāo)準(zhǔn)差s（x_i）的k倍，指明了包含因子k的大小，則標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（x_i）可取U（x_i）／k,而估計(jì)方差u^２（x_i）為其平方。

    例：校準(zhǔn)證書上指出標(biāo)稱值為1kg的砝碼質(zhì)量m＝1000.00032g，并說明按包含因子k＝3給出的擴(kuò)展不確定度U＝0.24mg。則該砝碼的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u（m）＝0.24mg／3＝80 g，估計(jì)方差為u^２（m）＝（80 g）^２＝6.4×10^－9g^２。相應(yīng)的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

u_rel（m）＝u（m）／m＝80×10^－9

5.3   如x_i的擴(kuò)展不確定度不是按標(biāo)準(zhǔn)差s（x_i）的k倍給出，而是給出了置信概率p為90%、95%或99%的置信區(qū)間的半寬U₉₀、U₉₅或U₉₉，除非另有說明，一般按正態(tài)分布考慮評(píng)定其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（x_i）。對(duì)應(yīng)于上述三種置信概率的包含因子k_p分別為1.64、1.96或2.58，更為完整的關(guān)系如表2：

表 2   正態(tài)分布情況下置信概率p與包含因子k_p間的關(guān)系

    例：校準(zhǔn)證書上給出標(biāo)稱值為10Ω的標(biāo)準(zhǔn)電阻器的電阻R_s在23℃時(shí)為：

R_s（23℃）＝（10.00074±0.00013）Ω

    同時(shí)說明置信概率p＝99%。

    由于U₉₉＝0.13mΩ，按表2，k_p＝2.58，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u（R_s）＝0.13mΩ／2.58＝50 Ω，估計(jì)方差為u^２（R_s）＝（50 Ω）^２＝2.5×10^－9Ω^２。相應(yīng)的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

u_rel（R_s）＝u（R_s）／R_s＝5×10^－6

5.4   如根據(jù)所獲得的資料表明，輸入量Xi的值有50%的概率落于a_－和a₊的區(qū)間內(nèi)。取X_i的*估計(jì)值x_i為該區(qū)間的中點(diǎn)。設(shè)該區(qū)間的半寬為（a_＋－a_－）／2＝a。在假設(shè)X_i的可能值接近正態(tài)分布的前提下，按表2，k₅₀＝0.67，則取x_i的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（x_i）＝a／0.67，其方差為u^２（x_i）＝（a／0.67）^２

    例：機(jī)械師在測(cè)量零件尺寸時(shí)，估計(jì)其長(zhǎng)度以50%的概率落于10.07mm至10.15mm之間，并給出了長(zhǎng)度l＝（10.11±0.04）mm，這說明0.04mm為p＝50%的置信區(qū)間半寬，在接近正態(tài)分布的條件下，按表2，k₅₀＝0.67，則長(zhǎng)度l的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u（l）＝0.04mm／0.67＝0.06mm，其方差為u^２（l）＝（0.04mm／0.67）^２＝3.5×10^－3mm^２。

5.5   如已知信息表明Ｘ_i之值接近正態(tài)分布；并以0.68概率落于（a_＋－a_－）／2＝a的對(duì)稱范圍之內(nèi)，按表2，k_p＝1，則u（x_i）＝a。

5.6   如已知信息表明X_i之值x_i分散區(qū)間的半寬為a，且x_i落于x_i－a至x_i+a區(qū)間的概率p為，即全部落在此范圍中，通過對(duì)其分布的估計(jì)，可以得出標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（x_i）＝a／k，因?yàn)?em>k與分布狀態(tài)有關(guān)，見表3。

表 3   常用分布與k、u（x_i）的關(guān)系

      表3中 為梯形的上底與下底之比，對(duì)于梯形分布來說，k＝6／（1+ ^２），特別當(dāng) 等于1時(shí)，梯形分布變?yōu)榫匦畏植迹划?dāng) 等于0時(shí)，變?yōu)槿欠植肌?/p>

    例1：手冊(cè)中給出純銅在20℃時(shí)的線膨脹系數(shù)α₂₀（Cu）為16.52×10^－6℃^－1，并說明此值變化的半范圍為α＝0.40×10^－6℃^－1。按α₂₀（Cu）在［（16.52－0.40）×10^－6℃^－1，（16.52+0.40）×10^－6℃^－1］區(qū)間內(nèi)為均勻分布，于是

u（α）＝0.40×10^－6℃^－1／ ＝0.23×10^－6℃^－1

    例2：數(shù)字電壓表制造廠說明書說明：儀器校準(zhǔn)后1～2年內(nèi)，在1V內(nèi)示值z(mì)ui大允許誤差的模為14×10^－6×（讀數(shù)）+2×10^－6×（范圍）。設(shè)校準(zhǔn)后20月在1V內(nèi)測(cè)量電壓，在重復(fù)性條件下獨(dú)立測(cè)得電壓V，其平均值為：



    平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差為： 。

    電壓表zui大允許誤差的模：

a＝14×10^－6×0.928571 V+2×10^－6×1V＝15 V

    a即為均勻分布的半寬，按表3，k＝3，則示值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

u（ΔV）＝15 V／ ＝8.7μV

    由示值不穩(wěn)定性導(dǎo)致的不確定度為A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，即s（ ）＝12 V，由示值誤差導(dǎo)致的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，即u（ΔV）＝8.7 V。

5.7   在缺乏任何其他信息的情況下，一般估計(jì)為矩形分布是較合理的。但如果已知被研究的量X_i的可能值出現(xiàn)在a_－至a₊中心附近的概率，大于接近區(qū)間的邊界時(shí)，則按三角分布計(jì)算。如果x_i本身就是重復(fù)性條件下的幾個(gè)觀測(cè)值的算術(shù)平均值，則可估計(jì)為正態(tài)分布（參見附錄B）。

5.8   在輸入量X_i可能值的下界a_－和上界a₊相對(duì)于其*估計(jì)值x_i并不對(duì)稱的情況下，即下界a_－＝x_i－b_－，上界a₊＝x_i+b₊，其中b_－≠b+。這時(shí)由于x_i不處于a_－至a₊區(qū)間的中心，X_i的概率分布在此區(qū)間內(nèi)不會(huì)是對(duì)稱的，在缺乏用于準(zhǔn)確判定其分布狀態(tài)的信息時(shí)，按矩形分布處理可采用下列近似評(píng)定：

                                    （16）

      例：設(shè)手冊(cè)中給出的銅膨脹系數(shù)α₂₀（Cu）＝16.52×10^－6℃^－1，但指明zui小可能值為16.40×10^－6℃^－1，zui大可能值為16.92×10^－6℃^－1。

    這時(shí)，  b_－＝（16.52－16.40）×10^－6℃^－1

 ＝0.12×10^－6℃^－1

            b_＋＝（16.92－16.52）×10^－6℃^－1

  ＝0.40×10^－6℃^－1

    由式（16）得：

u（α₂₀）＝0.15×10^－6℃^－1

    有時(shí)對(duì)于不對(duì)稱的界限，可以對(duì)估計(jì)值x_i加以修正，修正值的大小為（b₊－b_－）／2，則修正后x_i就在界限的中心位置x_i＝（a_－+a₊）／2，而其半寬a＝（a₊－a_－）／2，從而可按5.4～5.7各節(jié)所述方式處理。

5.9   對(duì)于數(shù)字顯示式測(cè)量?jī)x器，如其分辨力為 則由此帶來的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u（x）＝0.29 。

    對(duì)于所引用的已修約的值，如其修約間隔為 ，則因此導(dǎo)致的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u（x）＝0.29 。

5.10   在規(guī)定實(shí)驗(yàn)方法的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)或類似技術(shù)文件中，按規(guī)定的測(cè)量條件，當(dāng)明確指出兩次測(cè)量結(jié)果之差的重復(fù)性限r或復(fù)現(xiàn)性R時(shí)，如無特殊說明，則測(cè)量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u（x_i）＝r／2.83或u（x_i）＝R／2.83（參見ISO 5725 Accuracy of measurement methods and results）。

5.11   當(dāng)測(cè)量?jī)x器檢定證書上給出準(zhǔn)確度等別時(shí)，可按檢定系統(tǒng)或檢定規(guī)程所規(guī)定的該等別的測(cè)量不確定度大小，按5.2或5.3進(jìn)行評(píng)定。

    當(dāng)測(cè)量?jī)x器檢定證書上給出準(zhǔn)確度級(jí)別時(shí)，可按檢定系統(tǒng)或檢定規(guī)程所規(guī)定的該級(jí)別的zui大允許誤差與其他信息進(jìn)行評(píng)定。

5.12   B類不確定度分量的自由度與所得到的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（x_i）的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度 ｛u（x_i）｝／u（x_i）有關(guān)，其關(guān)系為：

                                     （17）

      根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，按所依據(jù)的信息來源的可信程度來判斷u（x_i）的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，從而推算出比值 ［u（x_i）］／u（x_i）。按式（17）計(jì)算出的v_i列于表4：

表 4   ［u（x_i）］／u（x_i）與v_i關(guān)系

6   合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定

6.1   合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度按輸出量Y的估計(jì)值y給出的符號(hào)為u_c（y）。其中，y通常采用量的符號(hào)，如表壓p_e，動(dòng)力粘度 ，溶液中NaCl的質(zhì)量分?jǐn)?shù)w（NaCl）的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，可分別表示為u_c（p_e）、u_c（ ）、u_c［w（NaCl）］。 （y）為輸出估計(jì)值的合成方差，而合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c（y）為其正平方根。可以按不確定度分量的A、B兩類評(píng)定方法分別合成，如u_cA（y）、u_cB（y）分別為僅按A、B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的合成不確定度。

6.2   當(dāng)全部輸入量X_i是彼此獨(dú)立或不相關(guān)時(shí)，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c（y）由下式得出：

                                          （18）

    式中，標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（x_i）既可以按A類，也可以按B類方法評(píng)定。u_c（y）是個(gè)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差，表征合理賦予被測(cè)量Y之值的分散性。式（18）是基于y＝f（x₁,x₂，…，x_N）的泰勒級(jí)數(shù)的一階近似，稱為“不確定度傳播律”。但當(dāng)f是明顯非線性時(shí)，式（18）中還應(yīng)包括泰勒級(jí)數(shù)的高階項(xiàng)，當(dāng)每個(gè)輸入量X_i都對(duì)其平均值x_i對(duì)稱分布時(shí)，加進(jìn)式（18）的下一高階的主要項(xiàng)為：



6.3   偏導(dǎo)數(shù) 是在X_i＝x_i時(shí)導(dǎo)出的，這些偏導(dǎo)數(shù)稱為靈敏系數(shù)，符號(hào)為c_i，即c_i＝ 。它描述輸出估計(jì)值y如何隨輸入估計(jì)值x₁,x₂,…，x_N的變化而變化。尤其是，輸入估計(jì)值x_i的微小變化Δx_i引起y的變化，可用（Δy）_i＝（ ）Δx_i＝c_iΔx_i表示，如這一變化系u（x_i）所導(dǎo)致，則y的相應(yīng)變化為（ ）u（x_i）＝c_iu（x_i）。因而式（18）在X_i互不相關(guān)時(shí)，可表達(dá)為：

                                   （19）

       式中，c_i＝ ，u_i（y）＝｜c_i｜u（x_i）

      偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)是在X_i的期望值下評(píng)定，即：



例：在3.9節(jié)的例中，

    由于各分量互不相關(guān)，因而合成方差u^２（Ｐ）為：

6.4   有時(shí)，靈敏系數(shù)c_i可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定，即通過變化第i個(gè)x_i，而保持其余輸入量不變，從而測(cè)定Y的變化量。

6.5   如果，式（2）對(duì)輸入量X_i的標(biāo)稱值X_i,0作一階展開：

式中：Y₀＝f（Ｘ_1,0,X_2,0,…，X_N,0）；

c_i＝ 在X_i＝X_i,0求導(dǎo)；

＝X_i－X_i,0

    為了分析不確定度，常將X_i變換到 ，使被測(cè)量近似地為線性函數(shù)。

    例：5.6節(jié)例2中電壓 ，設(shè)電壓重復(fù)測(cè)量按A類評(píng)定方法得出 ,而測(cè)量出的平均值 ，附加修正值ΔＶ＝0。

    測(cè)量?jī)x器引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（ΔV）＝8.7 V，由于 及 ,并且， 彼此獨(dú)立，故V的合成方差為：

    合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

u_c（Ｖ）＝15 V

    相對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

u_crel（V）＝u_c（V）／V＝16×10^－6

6.6   在X_i彼此獨(dú)立的條件下，如果函數(shù)f的形式表現(xiàn)為：

Y＝f（X_１，Ｘ_２,…，X_N）

    式中，系數(shù)c并非靈敏系數(shù)，指數(shù)p_i可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)，設(shè)p_i的不確定度u（p_i）可忽略不計(jì)，則式（18）可表示為：

                                   （20）

    這里，給出的是相對(duì)合成方差，式（20）說明在這一函數(shù)關(guān)系下，采用相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_crel＝u_c（y）／｜y｜和u_rel（x_i）＝u（x_i）／｜x_i｜進(jìn)行評(píng)定比較方便，但要求y≠0和x_i≠0。

    而且，當(dāng)Y具有這一函數(shù)形式時(shí)，可設(shè)X_i＝X_i,0（1+ _i），從而實(shí)現(xiàn)將Y變換成線性函數(shù)（見6.5），并得到以下近似關(guān)系：



    另外，對(duì)數(shù)變換Z＝lnＹ和W_i＝lnX_i可以使新的變量*線性化為：

    如果，指數(shù)p_i只是+1或－1，式（20）就進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

    即估計(jì)值y的相對(duì)方差等于輸入估計(jì)值x_i的相對(duì)方差之和。若y＝xⁿ，則

    即y為x的n次冪時(shí)，y的相對(duì)不確定度等于x的相對(duì)不確定度的n倍。

    例1：立方體體積V的測(cè)量通過輸入長(zhǎng)l、寬b和高h，其函數(shù)關(guān)系為：

V＝f（l,b,h）＝lbh

    按式（20）可得：

    或?qū)懗桑?/p>

      例2：圓柱體體積V的測(cè)量通過輸入半徑r與高h，其函數(shù)關(guān)系為：

V＝πr^２h

    式中，u（π）可通過取適當(dāng)?shù)挠行欢雎圆挥?jì)，則按式（20）可得：

6.7   當(dāng)被測(cè)量Y為相互獨(dú)立的輸入量X_i的線性函數(shù)時(shí)，且靈敏系數(shù)c_i為+1或－1，則式（18）可簡(jiǎn)化為：

                                            （21）

    例：y＝x₁+x₂

    且x₁與x₂無關(guān)，u（x₁）＝１.73mm，u（x₂）＝1.15mm

    則



6.8   當(dāng)輸入量X_i明顯相關(guān)時(shí)，就必須考慮其相關(guān)性。相關(guān)常由相同原因所致，比如當(dāng)兩個(gè)輸入量使用了同一臺(tái)測(cè)量?jī)x器，或者使用了相同的實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)或參考數(shù)據(jù)，則這兩個(gè)輸入量之間就會(huì)存在較大的相關(guān)性。

6.9   當(dāng)輸入量相關(guān)時(shí)，測(cè)量結(jié)果y的合成方差 的表達(dá)式為：

                        （22）

式中，x_i和x_j分別是X_i和X_j的估計(jì)值，而協(xié)方差u（x_i,xj）＝u（xj, x_i），則x_i與xj之間相關(guān)程度可用估計(jì)的相關(guān)系數(shù)來表示：

                                       （23）

    式中，r（x_i,x_j）＝r（x_j,x_i）且－1≤r（x_i,x_j）≤+1，如x_i與x_j相互獨(dú)立，則r（x_i, x_j）＝0，即一個(gè)值的變化不會(huì)預(yù)期另一個(gè)值也發(fā)生變化。

    相關(guān)系數(shù)這一術(shù)語比協(xié)方差易于理解，式（22）中的協(xié)方差項(xiàng)可寫成：

                               （24）

采用靈敏系數(shù)的符號(hào)，式（22）即為：

                              （25）

    在所有輸入估計(jì)值都相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)r（x_i,x_j）＝1的特殊情況下，式（25）簡(jiǎn)化為：



    這時(shí),u_c（y）為由每個(gè)輸入估計(jì)值x_i的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（x_i）產(chǎn)生的輸出估計(jì)值y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u_i（y）＝c_iu（x_i）的線性和。

例：當(dāng)標(biāo)稱值均為1kΩ的10個(gè)電阻器，用同一個(gè)值為Rs的標(biāo)準(zhǔn)電阻器校準(zhǔn)時(shí)，設(shè)校準(zhǔn)不確定度可忽略，檢定證書給出的R_s不確定度為u（R_s）＝0.10Ω。現(xiàn)將此10個(gè)電阻器用電阻可忽略的導(dǎo)線串聯(lián)，構(gòu)成標(biāo)稱值為10kΩ的參考電阻 。由于對(duì)電阻器來說 ，則：

故得 

6.10   合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c（y）的自由度稱為有效自由度v_eff,如果 是兩個(gè)或多個(gè)估計(jì)方差分量的合成，即 ＝ ，則即使當(dāng)每個(gè)x_i均為服從正態(tài)分布的輸入量X_i的估計(jì)值時(shí)，變量（y－Y）／u_c（y）可以近似為t分布，其有效自由度v_eff可由韋爾奇薩特思韋特（Welch-Satterthwaite）公式計(jì)算：

                                           （26）

顯然有：

    式（26）也可用于相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的合成，按式（20）計(jì)算時(shí)有：

                                        （27）

    必要時(shí)除v_eff外，可分別處理 和 對(duì) 的貢獻(xiàn)，其關(guān)系為：

      例：設(shè)y＝f（X₁,X₂,X₃）＝bX₁X₂X₃,輸入量X₁、X₂、X₃彼此獨(dú)立，其估計(jì)值x_１、x_２、x₃是獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)值的算術(shù)平均值，重復(fù)次數(shù)分別為n₁＝10,n₂＝5和n₃＝15，則其相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分別為：

u_rel（x₁）＝u（x₁）／x₁＝0.25%

u_rel（x₂）＝u（x₂）／x₂＝0.57%

u_rel（x₃）＝u（x₃）／x₃＝0.82%

    則其合成方差按式（20）為：

                   ＝（1.03%）^２

    有效自由度為：

＝19

6.11   當(dāng)隨機(jī)效應(yīng)或系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度分量，既可以按統(tǒng)計(jì)方法取得，又可以按其他方法評(píng)定時(shí)，只允許在u_c（y）中包含其中的一個(gè)。

      同一種效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度已作為一個(gè)分量進(jìn)入u_c（y）時(shí)，它不應(yīng)再被包含在另外的分量之中。例如：在幾何量測(cè)量中，通過重復(fù)安裝進(jìn)行讀數(shù)來得出被測(cè)件由于安裝的不確定度因素導(dǎo)致的分量，其中就包含了讀數(shù)導(dǎo)致的分量，在計(jì)算u_c（y）時(shí)，就不應(yīng)再加入讀數(shù)的不確定度分量。

    7   擴(kuò)展不確定度的評(píng)定

7.1   擴(kuò)展不確定度分為兩種：

    a）在合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c（y）確定后，乘以一個(gè)包含因子k,即U＝ku_c（y）。可以期望在y－U至y+U的區(qū)間包含了測(cè)量結(jié)果可能值的較大部分。k值一般取2～3，在大多數(shù)情況下取k＝2，當(dāng)取其他值時(shí)，應(yīng)說明其來源。

    b）將u_c（y）乘以給定概率p的包含因子k_p，從而得到擴(kuò)展不確定度U_p。可以期望在y－U_p至y+U_p的區(qū)間內(nèi)，以概率p包含了測(cè)量結(jié)果的可能值。k_p與y的分布有關(guān)。當(dāng)可以按中心極限定理估計(jì)接近正態(tài)分布時(shí)，k_p采用t分布臨界值（或簡(jiǎn)稱t值，見附錄A）。k_p＝t_p（v_eff），一般采用的p值為99%和95%。多數(shù)情況下，采用p＝95％。對(duì)某些測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)的檢定或校準(zhǔn)，根據(jù)有關(guān)規(guī)定可采用p＝99%。當(dāng)v_eff充分大時(shí)，可以近似認(rèn)為k₉₅＝２、k₉₉＝3,從而分別得出U₉₅＝2u_c（y）、U₉₉＝3u_c（y）。

7.2   當(dāng)只給出擴(kuò)展不確定度U時(shí)，不必評(píng)定各分量及合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度v_i及v_eff。

    在實(shí)際工作中，如對(duì)Y可能值的分布作正態(tài)分布的估計(jì)，雖未計(jì)算v_eff，但可估計(jì)其值并不太小時(shí)，則U＝2u_c（y）大約是置信概率近似為95%的區(qū)間的半寬，而U＝3u_c（y）大約是置信概率近似為99%的區(qū)間的半寬。

7.3   如果可以確定Y可能值的分布不是正態(tài)分布，而是接近于其他某種分布，則決不應(yīng)按k＝2～3或k_p＝t_p（v_eff）計(jì)算U或U_p。例如，Y可能值近似為矩形分布，則包含因子k_p與U_p之間的關(guān)系如下：

    對(duì)于   U₉₅，k_p＝1.65

    對(duì)于   U₉₉，k_p＝1.71

8   測(cè)量不確定度的報(bào)告與表示

8.1   當(dāng)給出完整的測(cè)量結(jié)果時(shí)，一般應(yīng)報(bào)告其測(cè)量不確定度。報(bào)告應(yīng)盡可能詳細(xì)，以便使用者可以正確地利用測(cè)量結(jié)果。按技術(shù)規(guī)范要求無需給出測(cè)量不確定度的除外。

8.2   在工業(yè)、商業(yè)等日常的大量測(cè)量中，有時(shí)雖然沒有任何明確的不確定度報(bào)告，但所用的測(cè)量?jī)x器是經(jīng)過檢定處于合格狀態(tài)，并且測(cè)量程序有技術(shù)文件明確規(guī)定，則其不確定度可以由技術(shù)指標(biāo)或規(guī)定的文件評(píng)定。

    證書上的校準(zhǔn)結(jié)果或修正值應(yīng)給出測(cè)量不確定度。

8.3   對(duì)于比較重要的測(cè)量，不確定度的報(bào)告一般包括以下內(nèi)容：

    a）有關(guān)輸入量與輸出量的函數(shù)關(guān)系以及靈敏系數(shù)c_i；

    b）修正值和常數(shù)的來源及其不確定度；

    c）輸入量X_i的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)及其估計(jì)值x_i，標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（x_i）的評(píng)定方法及其量值、自由度v_i，并將它們列成表格；

    d）對(duì)所有相關(guān)輸入量給出其協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)r及其獲得方法；

    e）測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理程序，該程序應(yīng)易于重復(fù)，必要時(shí)報(bào)告結(jié)果的計(jì)算應(yīng)能獨(dú)立重復(fù)。

8.4   當(dāng)用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度報(bào)告測(cè)量結(jié)果的不確定度時(shí)，除8.3所涉及的內(nèi)容外，還須注意：

    a）明確說明被測(cè)量Y的定義；

    b）給出被測(cè)量Y的估計(jì)值y、合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c（y），及其單位，必要時(shí)還應(yīng)給出自由度v_eff或v_effA、v_effB。

    c）必要時(shí)也可給出相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_crel（y）。

8.5   合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c（y）的報(bào)告可用以下4種形式之一，例如，標(biāo)準(zhǔn)砝碼的質(zhì)量為m_s，測(cè)量結(jié)果為100.02147g，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c（m_s）為0.35mg，則

    a）m_s＝100.02147g;合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c（m_s）＝0.35mg。

    b）m_s＝100.02147（35）g;括號(hào)內(nèi)的數(shù)是按標(biāo)準(zhǔn)差給出，其末位與前面結(jié)果內(nèi)末位數(shù)對(duì)齊。

    c）m_s＝100.02147（0.00035）g;括號(hào)內(nèi)按標(biāo)準(zhǔn)差給出，與前面結(jié)果有相同計(jì)量單位。

    d）m_s＝（100.02147±0.00035）g;正負(fù)號(hào)后之值按標(biāo)準(zhǔn)差給出，它并非置信區(qū)間。

    形式b）一般用于公布常數(shù)、常量。

    形式d）雖為ISO 31《量和單位》一貫采用，但因習(xí)慣上用于表示高置信概率的區(qū)間，一般應(yīng)避免使用。

8.6   當(dāng)用U或U_p報(bào)告測(cè)量擴(kuò)展不確定度時(shí)，除8.3所涉及的內(nèi)容外，還應(yīng)注意：

    a）明確說明被測(cè)量Y的定義；

    b）給出被測(cè)量Y的估計(jì)值y，擴(kuò)展不確定度U或U_p及其單位；

    c）必要時(shí)也可給出相對(duì)擴(kuò)展不確定度U_rel;

    d）對(duì)U應(yīng)給出k值，對(duì)U_p應(yīng)明確p值，本規(guī)范推薦給出v_eff，以便于不確定度傳播到下一級(jí)。

8.7   U＝ku_c（y）的報(bào)告可用以下兩種形式之一，例如，u_c（y）＝0.35mg，取包含因子k＝2,U＝2×0.35mg＝0.70mg，則

    a）m_s＝100.02147g,U＝0.70mg;k＝2。

    b）m_s＝（100.02147±0.00070）g;k＝2。

8.8   U_p＝k_pu_c（y）的報(bào)告可用以下4種形式之一，例如，u_c（y）＝0.35mg,v_eff＝9，按p＝95%，查附錄A得k_p＝t95（9）＝2.26，U95＝2.26×0.35mg＝0.79mg,則

    a）m_s＝100.02147 g;U95＝0.79mg,v_eff＝9。

    b）m_s＝（100.02147±0.00079）g;v_eff＝9,括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)為U₉₅之值。

    c）m_s＝100.02147（79）g;v_eff＝9，括號(hào)內(nèi)為U₉₅之值，其末位與前面結(jié)果內(nèi)末位數(shù)對(duì)齊。

    d）m_s＝100.02147（0.00079）g;v_eff＝9,括號(hào)內(nèi)為U₉₅之值，與前面結(jié)果有相同計(jì)量單位。

8.9   不確定度也可以相對(duì)形式Urel或urel報(bào)告，例如：

    a）m_s＝100.02147（1±7.9×10^－6）g;p＝95％，式中7.9×10^－6為U_95rel之值。

    b）m_s＝100.02147g;U_95rel＝7.9×10^－6。

8.10   上述列舉的表達(dá)形式中的符號(hào)含義，必要時(shí)應(yīng)有文字說明，也可采用它們的名稱代替符號(hào)，或同時(shí)采用。如有必要，單位的符號(hào)亦可代之以中文符號(hào)或名稱。

8.11   通常在報(bào)告以下測(cè)量結(jié)果時(shí)，使用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c（y），同時(shí)給出自由度v_eff：

    a）基礎(chǔ)計(jì)量學(xué)研究；

    b）基本物理常量測(cè)量；

    c）復(fù)現(xiàn)單位制單位的比對(duì)（按有關(guān)規(guī)定，亦可采用k＝2）。

8.12   當(dāng)給出擴(kuò)展不確定度U_p時(shí)，為了明確起見，推薦以下說明方式，例如：

m_s＝（100.02147±0.00079）g

    式中，正負(fù)號(hào)后的值為擴(kuò)展不確定度U₉₅＝k₉₅u_c，而合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c（m_s）＝0.35mg，自由度v＝9，包含因子k_p＝t₉₅（9）＝2.26，從而具有約為95%概率的置信區(qū)間。

8.13   估計(jì)值y的數(shù)值和它的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c（y）或擴(kuò)展不確定度U的數(shù)值都不應(yīng)該給出過多的位數(shù)。通常u_c（y）和U［以及輸入估計(jì)值x_i的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（x_i）］zui多為兩位有效數(shù)字。雖然在某些情況下，為了在連續(xù)計(jì)算中避免修約誤差而必須保留多余的位數(shù)。

    在報(bào)告zui終結(jié)果時(shí)，有時(shí)可能要將不確定度zui末位后面的數(shù)都進(jìn)位而不是舍去。例如，u_c（y）＝10.47mΩ，可以進(jìn)位到11mΩ。但一般的修約規(guī)則（參見《GB 3101—1993有關(guān)量、單位和符號(hào)的一般原則》）也應(yīng)該可用。如u（x_i）＝28.05kHz經(jīng)修約后寫成28kHz。輸入和輸出的估計(jì)值，應(yīng)修約到與它們不確定度的位數(shù)一致。例如，如果y＝10.05762Ω其u_c（y）＝27mΩ，則y應(yīng)進(jìn)位到10.058Ω。如果相關(guān)系數(shù)的值接近1時(shí)，則相關(guān)系數(shù)應(yīng)給出三位數(shù)字。

附錄A

t分布在不同置信概率p與自由度v的

t_p（v）值（t值）（補(bǔ)充件）

    a：對(duì)期望 ，總體標(biāo)準(zhǔn) 的正態(tài)分布描述某量z,當(dāng)k＝1，2，3時(shí)，區(qū)間 ±k 分別包含分布的68.27%，95.45%，99.73%。

    注：當(dāng)自由度較小而又有較準(zhǔn)確要求時(shí)，非整數(shù)的自由度可按以下兩種方法之一，內(nèi)插計(jì)算t值

    1）按非整v內(nèi)插求t_p（v）

對(duì)v＝6.5，p＝0.9973，由

   t_p（6）＝4.90，t_p（7）＝4.53

得   t_p（6.5）＝4.53+（4.90－4.53）（6.5－7）／（6－7）＝4.72

    2）按非整v由v－1內(nèi)插求t_p（v）

       例：對(duì)v＝6.5，p＝0.9973，由

t_p（６）＝4.90，t_p（7）＝4.53

    得t_p（6.5）＝4.53+（4.90－4.53）（1／6.5－1／7）／（1／6－1／7）＝4.72

    以上，第二種方法更為準(zhǔn)確。

附錄B

概率分布情況的估計(jì)（參考件）

B.1   正態(tài)分布

    a）重復(fù)條件或復(fù)現(xiàn)條件下多次測(cè)量的算術(shù)平均值的分布；

    b）被測(cè)量Y用擴(kuò)展不確定度U_p給出，而對(duì)其分布又沒有特殊指明時(shí)，估計(jì)值Y的分布；

    c）被測(cè)量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c（y）中，相互獨(dú)立的分量u_i（y）較多，它們之間的大小也比較接近時(shí)，Y的分布；

    d）被測(cè)量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c（y）中相互獨(dú)立的分量u_i（y）中，存在兩個(gè)界限值接近的三角分布，或4個(gè)界限值接近的均勻分布時(shí)；

    e）被測(cè)量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c（y）的相互獨(dú)立的分量中，量值較大的分量（起決定作用的分量）接近正態(tài)分布時(shí)。

B.2   矩形（均勻）分布

    a）數(shù)據(jù)修約導(dǎo)致的不確定度；

    b）數(shù)字式測(cè)量?jī)x器對(duì)示值量化（分辨力）導(dǎo)致的不確定度；

    c）測(cè)量?jī)x器由于滯后、摩擦效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度；

    d）按級(jí)使用的數(shù)字式儀表、測(cè)量?jī)x器zui大允許誤差導(dǎo)致的不確定度；

    e）用上、下界給出的線膨脹系數(shù)；

    f）測(cè)量?jī)x器度盤或齒輪回差引起的不確定度；

    g）平衡指示器調(diào)零不準(zhǔn)導(dǎo)致的不確定度。

B.3   三角分布

       a）相同修約間隔給出的兩獨(dú)立量之和或差，由修約導(dǎo)致的不確定度；

    b）因分辨力引起的兩次測(cè)量結(jié)果之和或差的不確定度；

    c）用替代法檢定標(biāo)準(zhǔn)電子元件或測(cè)量衰減時(shí)，調(diào)零不準(zhǔn)導(dǎo)致的不確定度；

    d）兩相同均勻分布的合成。

B.4   反正弦分布（U形分布）

    a）度盤偏心引起的測(cè)角不確定度；

    b）正弦振動(dòng)引起的位移不確定度；

    c）無線電中失配引起的不確定度；

    d）隨時(shí)間正余弦變化的溫度不確定度。

B.5   兩點(diǎn)分布

    例如，按級(jí)使用量塊時(shí)，中心長(zhǎng)度偏差導(dǎo)致的概率分布。

B.6   投影分布

    a）當(dāng)X_i受到1－cos （角 服從均勻分布）影響時(shí)，x_i的概率分布；

    b）安裝或調(diào)整測(cè)量?jī)x器的水平或垂直狀態(tài)導(dǎo)致的不確定度。

B.7   無法估計(jì)的分布

    大多數(shù)測(cè)量?jī)x器，對(duì)同一被測(cè)量多次重復(fù)測(cè)量，單次測(cè)量示值的分布一般不是正態(tài)分布，往往偏離甚遠(yuǎn)。如軸尖支承式儀表示值分布，介于正態(tài)分布與均勻分布之間，數(shù)字電壓表示值分布呈雙峰狀態(tài)，磁電系儀表的示值分布與正態(tài)分布相差甚遠(yuǎn)。

附錄C

有關(guān)量的符號(hào)匯總（參考件）

    以下符號(hào)來源于GUM；ISO 3534—1：1993；IEC27與ISO5725—1：1994。

a     輸入量X_i可能值為矩形分布時(shí)的半寬；

a＝（a₊－a_－）／2

a₊   輸入量X_i的上限

a_－   輸入量X_i的下限

b    修正值

b₊    輸入量X_i按其估計(jì)值x_i的偏差的上限：

b₊＝a₊－x_i

b_－   輸入量X_i按其估計(jì)值x_i的偏差的下限：

b_－＝x_i－a_－

cov   協(xié)方差，隨機(jī)變量y和z的協(xié)方差表示為cov（y,z）＝cov（z,y）

c_i    偏導(dǎo)數(shù)或靈敏系數(shù)c_i＝f／x_i

f    被測(cè)量Y與和Y有關(guān)的輸入量X_i之間的函數(shù)關(guān)系，或輸出量估計(jì)值y與和y有關(guān)的輸入估計(jì)值

x_i之間的函數(shù)關(guān)系

    偏微分（偏導(dǎo)數(shù)）

輸入量X_i與被測(cè)量Y之間存在函數(shù)關(guān)系f時(shí)，X_i之估計(jì)值量x_i的偏微分，恒按下式估計(jì)：

k     包含因子（覆蓋因子）。用于與輸出量估計(jì)值y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c（y）相乘，以得出擴(kuò)展不確定度Uku_c（y）

的包含因子。由此，可給出一個(gè)具有較高置信概率的區(qū)間Y＝y±U

k_p     用于與輸出量估計(jì)值y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c（y）相乘，以保證所得到的擴(kuò)展不確定度U_p＝k_pu_c（y）

具有某給定置信概率（置信水平）p的包含因子

m    總平均值；被測(cè)量的個(gè)數(shù)；與被測(cè)量y有關(guān)的輸入量x_i的數(shù)目

n    重復(fù)觀測(cè)次數(shù)

N    與被測(cè)量Y_i有關(guān)的輸入量X_i的數(shù)目

p    概率；置信概率；置信水準(zhǔn)；置信水平：0≤p≤1

P（A）； 事件A發(fā)生的概率

Pr（A）

q    用概率分布描述的隨機(jī)變量

q    隨機(jī)變化的量q在n次獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)中的觀測(cè)值q_k的算術(shù)平均值；q概率分布均值 _q或其期望的估計(jì)q_k隨機(jī)

變量獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)中q的第k個(gè)觀測(cè)值

r    重復(fù)性限

r（x_i,x_j）  輸入量X_i與X_j的輸入估計(jì)值x_i與x_j的估計(jì)相關(guān)系數(shù)：

r（x_i,x_j）＝u（x_i,x_j）／u（x_i）u（x_j）

通過輸入量X_i和X_j的n對(duì)獨(dú)立同時(shí)重復(fù)觀測(cè)值X_j;k和X_j;k所確定的輸入均值X_i和X_j的估計(jì)相關(guān)系數(shù)：

r（y_i,y_j）   在同一測(cè)量程序中所確定的兩個(gè)或多個(gè)輸出量或是被測(cè)量中，輸出估計(jì)量y_i與y_j的估計(jì)相關(guān)系數(shù)

R    復(fù)現(xiàn)性限（再現(xiàn)性限）

   方差的組合樣本估計(jì)值

s_p   組合樣本標(biāo)準(zhǔn)差;等于s^２p的正平方根

s_r   重復(fù)性標(biāo)準(zhǔn)差sR復(fù)現(xiàn)性標(biāo)準(zhǔn)差（再現(xiàn)性標(biāo)準(zhǔn)差）

算術(shù)平均值 的實(shí)驗(yàn)方差，它是算術(shù)平均值 方差 ^２／n的估計(jì)值。方差由A類評(píng)定方法獲得

s（ ）  算術(shù)平均值 的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，等于 實(shí)驗(yàn)方差s^２（ ）的正平方根；s（ ）是總體標(biāo)準(zhǔn)差 （ ）的有偏

估計(jì)；為A類評(píng)定方法獲得的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

s^２（q_k）   變量q的n次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量值q_k所得到的方差的樣本估計(jì)，是變量q的概率分布的總體方差 ^２的估計(jì)

s（q_k）  實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差，等于樣本方差s^２（q_k）的正平方根；它是變量q的概率分布的總體標(biāo)準(zhǔn)差

的有偏估計(jì)

輸入量X_i的均值X_i的實(shí)驗(yàn)方差，由X_i的n次獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)值X_i,k所得出；A類評(píng)定方法獲得的方差

   輸入量X_i的均值X_i的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，等于方差s^２（X_i）的正平方根。由A類評(píng)定方法所獲得的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

   均值 與 的協(xié)方差的估計(jì)。這兩個(gè)均值是兩隨機(jī)變量q與r的期望 _q和 _r的估計(jì)，而且它們是由n

對(duì)獨(dú)立同時(shí)重復(fù)觀測(cè)q_k和r_k所計(jì)算出的；協(xié)方差由A類評(píng)定方法所獲得。

輸入量X_i和X_j的均值X_i和X_j的協(xié)方差的估計(jì)。它們由n對(duì)獨(dú)立同時(shí)重復(fù)觀測(cè)值X_i,k和X_j,k所得出；協(xié)方差

由A類評(píng)定方法所獲得

t_p（v）    t－因子（t－factor）。它按所給定的概率p與已知的自由度v給出

t_p（v_eff）   對(duì)于有效自由度v_eff以及與給定概率p相應(yīng)的t分布的t值。它用于計(jì)算擴(kuò)展不確定度U_p

u^２（x_i）   輸入量X_i的估計(jì)值x_i的估計(jì)方差

    注：當(dāng)x_i由n次重復(fù)觀測(cè)值的算術(shù)平均值得出時(shí)：

    即自A類評(píng)定方法所獲得的方差

u（x_i）    輸入估計(jì)值x_i的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。x_i是輸入量X_i的估計(jì)。u（x_i）等于方差u^２（x_i）的正平方根

    注：當(dāng)x_i是由n次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量的算出時(shí)：

    即自A類評(píng)定方法所獲得的標(biāo)準(zhǔn)不確定度（A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度）

u（x_i,x_j）   兩輸入量X_i和X_j的輸入估計(jì)值x_i與x_j的估計(jì)值協(xié)方差

    注：x_i與x_j是從n次獨(dú)立同時(shí)重復(fù)觀測(cè)值算出時(shí)，有：

    即是從A類評(píng)定方法所獲得的協(xié)方差

   輸出估計(jì)值y的合成方差

u_c（y）   輸出估計(jì)值y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，等于合成方差 的正平方根

  輸出估計(jì)值y的所有按A類評(píng)定方法所確定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度以及協(xié)方差的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度（A類合成標(biāo)準(zhǔn)

不確定度）

u_cB（y）   輸出估計(jì)值y的所有按B類評(píng)定方法所確定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度以及協(xié)方差的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度（B類合成標(biāo)

準(zhǔn)不確定度）

u_c（y_i）  在同一測(cè)量程序中，有兩個(gè)或兩上以上的被測(cè)量或輸出量y_i時(shí)，輸出估計(jì)值y_i的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

   由輸入估計(jì)值x_i的估計(jì)方差u^２（x_i）所形成的估計(jì)值y的合成方差 的分量：

u_i（y）   由輸入估計(jì)值x_i的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（x_i）產(chǎn)生輸出估計(jì)值y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c（y）的分量u_i（y）≡｜c_i｜u（x_i）

u（y_i,y_j）   輸出估計(jì)值y_i與y_j的估計(jì)協(xié)方差（在同一測(cè)量程序中的輸出估計(jì)值y_i與y_j）

u（x_i）／｜y_j｜輸入估計(jì)值x_i的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度，也用u_rel（x_i）

u_c（y）／｜y｜輸出估計(jì)值y的相對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，也用u_crel（y）

［u（x_i）／x_i］］^２輸入估計(jì)值x_i的估計(jì)相對(duì)方差，也用u^２_rel（y）

［u_c（y）／y］^２輸出估計(jì)值y的相對(duì)合成方差，也用u^２_crel（y）

輸入估計(jì)值x_i和y_j的估計(jì)相對(duì)協(xié)方差，也用u_rel（x_i, y_j）

u_rel；u_r    相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度

U     提供一個(gè)置信區(qū)間Y＝y±U的輸出估計(jì)值y的擴(kuò)展不確定度。它等于包含因子k與y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確

定度u_c（y）之積：

U＝ku_c（y）

U_p    以置信概率p提供置信區(qū)間y＝y±U_p的輸出估計(jì)值y的擴(kuò)展不確定度。它等于包含因子k_p與合成標(biāo)準(zhǔn)不

確定度u_c（y）之積：

u＝k_pu_c（y）

U_rel;U_r    相對(duì)擴(kuò)展不確定度，相對(duì)展伸不確定度

U_prel;U_pr置信概率p的置信區(qū)間相對(duì)半寬度；概率為p的相對(duì)擴(kuò)展不確定度

x_i    輸入量X_i的估計(jì)值

    注：當(dāng)x_i是由n次獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)值的算術(shù)平均值得出時(shí)：

x_i＝

X_i     與被測(cè)量Y相的第i個(gè)輸入量

    注：X_i可以是物理量或隨機(jī)變量

   輸入量X_i的估計(jì)值，等于X_i的n次獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)量值X_i,_k的算術(shù)平均值

X_i，_k   輸入量X_i的第k個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值

y    被測(cè)量Y的估計(jì)值；測(cè)量結(jié)果；輸出估計(jì)值

y_i     在同一測(cè)量程序中，當(dāng)有兩個(gè)或多個(gè)被測(cè)量要測(cè)出時(shí)，被測(cè)量Y_i的估計(jì)值

    被測(cè)量Y測(cè)量結(jié)果的算術(shù)平均值

    y_i的平均值；y_i的總平均值

    分辨力；修約間隔

_q   隨機(jī)變量q概率分布的期望或均值；數(shù)學(xué)期望；總體平均值

v    自由度的一般符號(hào)

v_i     輸入估計(jì)值x_i的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（x_i）的自由度

v_eff   在計(jì)算擴(kuò)展不確定度U_p時(shí)，為得到t－因子t_p（v_eff），合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u_c（y）的有效自由度

v_effA所有通過A類評(píng)定方法所獲得的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量合成后，成為一個(gè)A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的有效自由度，即u_cA（y）的有效自由度

v_effB所有通過B類評(píng)定方法所獲得的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量合成后，成為一個(gè)B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的有效自由度，即u_cB（y）的有效自由度

隨機(jī)變量q概率分布的方差，用s^２（q_k）估計(jì)

  概率分布的標(biāo)準(zhǔn)差；標(biāo)準(zhǔn)差的真值。等于 ^２的正平方根，s（q_k）為 的有偏估計(jì)值

的方差，等于 ^２／n，由s^２（ ）估計(jì)：

s^２（q）＝s^２（q_k）／n

的標(biāo)準(zhǔn)差，等于 的正平方根；s（ ）為 （ ）的有偏估計(jì)

的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)s（ ）的方差

平均值 的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s（ ）的總體標(biāo)準(zhǔn)差，等于 ^２［s（ ）］的正平方根

標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（x_i）的相對(duì)不確定度，用于評(píng)定B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度

附錄D

術(shù)語的英漢對(duì)照（參考件）