摘要：介紹一種計(jì)算Mie散射系數(shù)的新方法，給出計(jì)算實(shí)例。
關(guān)鍵詞：Mie散射 Mie系數(shù) Mie計(jì)算Study of calculating method of mie scattering coefficient
Wang shaoqing Ren zhongjing Zhang ximing Hefang Jianghaiying
(Shangdong lnstitute of building materiele.Jinan 25022)
Abstract: A new method of calculating mie coefficient is introduced,and calculating examples are given
Keywords :Mie scattering ,Mie coefficient ,Mie calculation
1引言
Mie理論是球形顆粒對(duì)單色光的散射場(chǎng)分布的嚴(yán)格解析解。目前在環(huán)保、動(dòng)力、氣象、天文、兩相流及粉體顆粒尺寸分布測(cè)量等工程技術(shù)領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。利用單一顆粒或顆粒群光散射場(chǎng)的測(cè)量數(shù)據(jù), 可以反推得散射顆粒或顆粒群的很多物理性質(zhì), 如顆粒的尺寸和顆粒的折射率等。但反推前必須事先計(jì)算出各種尺寸的顆粒在各種復(fù)折射率下的散射場(chǎng)分布數(shù)據(jù)。由于散射解十分復(fù)雜, 故雖然其解折表達(dá)式早在年速、準(zhǔn)確計(jì)算, 以滿足工程測(cè)量, 尤其是在線式工程測(cè)量方面的需要, 一直是多年來(lái)沒(méi)有得到*解決的一個(gè)難題。
1968年Davezui先報(bào)道了完整的Mie散射計(jì)算方法，又針對(duì)部分計(jì)算提出新算法。國(guó)內(nèi)也有人發(fā)表了他們自己的算法。但總的看來(lái), 這些算法均有各自的局限性。尤其是當(dāng)顆粒尺寸或折射率的虛部值較大時(shí), 往往計(jì)算速度過(guò)慢或產(chǎn)生溢出和不收斂等現(xiàn)象。本文介紹散射新算法。該算法的特點(diǎn)是不受顆粒尺寸及折射率的限制, 不會(huì)產(chǎn)生溢出和不收斂現(xiàn)象, 且具有較快的計(jì)算速度。
2 Mie散射系數(shù)的計(jì)算公式
Mie散射計(jì)算的中心問(wèn)題是計(jì)算Mie散射系數(shù)an和bn，其表達(dá)式為
其中，a為顆粒的尺寸參數(shù)，定義為：
D為顆粒的直徑，為入射光在顆粒周圍介質(zhì)中的波長(zhǎng)，而m為顆粒在周圍介質(zhì)中的相對(duì)復(fù)折射率，即：
式中，Jn+1和Nn+1分別為半整數(shù)階的*類和第二類貝塞爾函數(shù)。
以上是計(jì)算Mie散射系數(shù)的基本公式。與Mie散射有關(guān)的物理量如散射場(chǎng)強(qiáng)度、顆粒的消光系數(shù)、散射系數(shù)和吸收系數(shù)、散射光中兩偏振分量的相差、顆粒群的比濁度、不對(duì)稱因子等）均可利用Mie散射系數(shù)求得。
3 計(jì)算產(chǎn)生溢出的原因
計(jì)算M ie 散射系數(shù)須先計(jì)算和一般采用遞推法。遞推又分為向前遞推(即從n=0開(kāi)始) 與向后遞推(即從n=N 開(kāi)始至n=0為頂先設(shè)定值)。實(shí)驗(yàn)表明, 向前遞推總是快于向后遞推。
分析（8）（9）兩式可知，當(dāng)時(shí)，若顆粒尺寸d 很大或復(fù)折射率的虛部值m2很大, 將使得乘積m2d很大, 可能使(8)(9)兩式中的項(xiàng)的值超過(guò)計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)限, 從而產(chǎn)生溢出。這是產(chǎn)生溢出的zui要原因。另外在遞推過(guò)程中, 不恰當(dāng)?shù)乃惴ㄒ部赡茉斐梢绯觥?br />4 an和bn的新算法
為解決上述問(wèn)題，作者提出了新算法。將an和bn公式變形如下，令
（12）~（15）式應(yīng)采用比值形式，即四個(gè)公式中的后半段形式，這樣可避免遞減過(guò)程中a1與b1較大時(shí)乘法運(yùn)算可能產(chǎn)生的溢出。在以上四式中
均為實(shí)變量函數(shù)，計(jì)算計(jì)不會(huì)產(chǎn)生溢出。關(guān)鍵是的算法如何處理才能保證計(jì)算中不產(chǎn)生溢出。Lentz算法采用連分式計(jì)算Lm值，其精度是由在大量計(jì)算基礎(chǔ)上得出一個(gè)截?cái)囗?xiàng)數(shù)N與參數(shù)a及m的經(jīng)驗(yàn)公式而實(shí)現(xiàn)的。這樣的經(jīng)驗(yàn)公式一則有實(shí)用上的局限性，再則也會(huì)帶來(lái)截?cái)嗾`差。文獻(xiàn)對(duì)此經(jīng)驗(yàn)公式作了改進(jìn)，但扔限于a=1-100，m1=1-2，m2=0-1的范圍。下面介紹本文作者發(fā)表的關(guān)于Ln的新算法。該算法的特點(diǎn)是不受a及m值的限制，不會(huì)產(chǎn)生溢出或不收斂等病態(tài)現(xiàn)象，且具有較快的計(jì)算速度。令
上面導(dǎo)出的（10）~（38）構(gòu)成Mie系數(shù)an和bn是從n=1開(kāi)始計(jì)算的，利用初值公式（34）~（38）式即可算得任意級(jí)數(shù)an和bn的值，故沒(méi)有舍入誤差問(wèn)題。從（34）式可見(jiàn)，因?yàn)閥=m2a<0,故無(wú)論m2和a取何值均不會(huì)產(chǎn)生初值溢出：又（12）~（16）各式采用了比的形式，避免了計(jì)算過(guò)程中溢出，這就從根本上解決了溢出的問(wèn)題。再者，本算法屬于向前遞推。
5 計(jì)算實(shí)例
利用以上算法編制計(jì)算顆粒散射強(qiáng)度和消光系數(shù)的計(jì)算程序。當(dāng)單位振幅波長(zhǎng)為的平面自然光入射到顆粒上時(shí)，顆粒的散射光強(qiáng)為
徑d=0.001μm、1.0μm、30μm和100μm，而圖1（d）、（e）為圖（b）、（c）的局部放大圖。
可見(jiàn)，隨著顆粒尺寸的增大，前向投射迅速加強(qiáng)，（如圖1（a）、（b）和（c）所示）；并且隨著顆粒尺寸的增大，出現(xiàn)了復(fù)雜的旁瓣及明顯的后向散射現(xiàn)象。圖2為顆粒的散射光電分布隨折射率實(shí)部與虛部的變化情況。可見(jiàn)，隨著m1和m2的增大，雖然顆粒尺寸不變，散射光也加強(qiáng)，且后向散射逐漸增強(qiáng)。
圖3 (a )、(b) 為消光系數(shù)的計(jì)算結(jié)果。其圖3 (a) 表示消光系數(shù)隨折射率實(shí)部的變化；圖3 (b ) 表示消光系數(shù)隨折射率虛部的變化。可見(jiàn)隨著顆粒尺寸的增大，消光系數(shù)趨近于2。而折射率的增大，尤其是折射率虛部的增大，使這一趨勢(shì)變得更快和更明顯；另外，折射率虛部M2不等于0時(shí)，消光系數(shù)的振蕩迅速消失。
以上給出的計(jì)算結(jié)果與已發(fā)表的計(jì)算結(jié)果一致, 且與電磁學(xué)理論頂計(jì)的消光系數(shù)的變化規(guī)律相符合, 驗(yàn)證了本算法的正確性。
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