平面度在線測量的數學模型與誤差分離方法 

　　對于平面度在線測量，可以采用四測頭電容式組合傳感器裝置安裝在加工機床的z軸上，按一定的測量走點路徑對工件表面進行測量，測量結果中迭加了兩項誤差：基準誤差（即導軌運動副誤差）和工件表面誤差。因此，要測量工件平面度，必須采用誤差分離技術。

　　對平面度在線測量可以采用三或四傳感器進行。其中三傳感器布置方式如圖1所示。傳感器邊距為L，這樣以 L長為間隔可將被測平面分為M行N列網格，處于網格上的點即為被測量點，三傳感器分別標記為（k，l）（k，l＝1，2），對應第i行j列上的測量點標記為（i，j）。以傳感器（l，l）的零點作為基準點。則傳感器（1，2）、（2，1）的初始位置偏差分別記為）Δ12、Δ21。

　　圖2所示為測量路線圖（這里以4行4列測點為例），網格上的點為測量點，實心小圓圈表示測頭，i、j表示測量的當前行和列。

　　圖3所示為傳感器采集數據示意圖。這里假設測頭裝置為一剛體，導軌運動副作無偏擺的平動。

　　由圖3給出的當前測量i行j列時的采集數據示意圖可以得到傳感器采樣表達式，記傳感器（k，l）（k，l＝1，2）在該位置時的采樣值為 zijkl，則：

2 測量誤差源分析及實用誤差分離方法的討論

　　對于平面度形狀誤差的誤差分離方法，可以采用遞推逐次兩點（TSTP）法和zui小二乘逐次兩點（LSSTP）法。對于大型精密、超精密平面度在線測量，則應采用混合逐次兩點（HSTP）法，對于精密小平面工件，采用二維zui小二乘插值逐次兩點（LSISTP）法進行誤差分離，

2．1測量誤差源分析

　　逐次兩點誤差分離方法是以采樣公式（1）為分析處理基礎的，但在實際系統中，由于各種因素的影響，采樣獲得的傳感器信息中不僅包含運動副誤差和測量平面形狀誤差，而且還帶有各種噪聲信號。理論分析和實驗研究情況表明，影響采樣數據的誤差源很多，如漂移誤差、隨機噪聲誤差、采樣量化誤差、擺角誤差、各種低頻振動、導軌運動不平穩等。對于大型 CNC超精密平面磨床而言，影響在線測量系統精度的因素主要有以下，幾項：漂移誤差、隨機噪聲誤差、傳感器電源及導軌氣源波動、機床振動。

　　由于環境條件等的緩慢變化引起傳感器中頻漂移，尤其對于大工件測量時所需時間較長，漂移誤差的影響更大。但理論研究及分析表明：若傳感器漂移曲線相同，則漂移誤差影響可以通過分離處理消除，這樣在設計制作傳感器時盡量保證傳感器的特性相近，則環境變化對傳感器的影響基本相同，漂移誤差的影響得到抑制。

　　在線測量的環境不能算太好，采樣測量中不可避免存在各種各樣的干擾，‘如振動、電磁干擾、導軌運動的不平穩、傳感器電路不穩定等等，都會使得采樣值中存在隨機噪聲誤差。通過幾種算法處理過程可以發現：采用zui小二乘處理進行誤差分離的辦法可以減少隨機噪聲的影響。

　　傳感器電源紋波、導軌氣源波動和機床振動都會對傳感器采樣值產生影響，因此需要分別采取措施減少影響。另一方面，由于其作用對幾個傳感器是相同的，因此誤差分離處理時，它們只影響導軌分離精度，而對工件表面分離結果沒有影響。

2.2 實用誤差分離方法的討論

　　對于平面度形狀誤差在線測量，可以采用TSTP法、LSSTP法、HSTP法、ILSSTP法等。其中TSTP法具有處理過程簡單、速度快的特點，但該方法的分離結果容易積累測量噪聲誤差，特別是大型工件在線測量的場合，分離精度較低：LSSTP法則可以抑制隨機噪聲的影響，得到更高精度的測量結果，該方法將多項誤差通過一次處理得到，這樣可能因為誤差均化而導致分離結果不準確。對于大型平面測量，由于處理矩陣太大而使得算法實現非常困難且可能導致浮點運算誤差。HSTP法實現了單項誤差分離處理，它以TSTP方法得到的結果作為初始值通過共軛梯度法迭代逼近可以實現大型平面快速的誤差分離。該方法避免了LSSTP方法可能產生的誤差均化及浮點運算誤差p大型超精密平面度測量采用該方法zui為合適。這三種方法的測量間隔等于測頭間距而不能變更，這樣對于中小型平面測量會導致測量結果不夠。ILSSTP法可以實現以小于測頭間距的間隔進行測量并抑制隨機噪聲的影響，當測量點較多時也可以采用共軛梯度迭代逼近的辦法得到的分離結果。作為ILSSTP法的特例，對于直線度在線測量同樣可以通過zui小二乘處理得到高精度分離結果。

3 平面度評價方法

　　目前對平面度的評估主要有四種方法：方格法、對角線法、zui小二乘法和zui小包容區域法。前兩種方法處理比較簡單，在工程現場上應用較多，但其結果存在偏差。zui小二乘法也是一種簡單快捷的近似評估方法，易于計算機編程實現，其評估結果誤差相對較小。zui小區域法符合國標規定的zui小條件原則，其評估結果*且比前幾種方法都，故而zui受重視，其實現相對較為復雜，很多學者采用了各種不同算法來實現該方法。在進行zui小區域法實現時，各種文獻提供了數十種求解算法，常用的有基面旋轉法、坐標變換法、優化法、特征點法和作圖法等，這些算法都有各自的優點。但對于大型超精平面測量處理而言，數據點太多。對如此多的數據點進行反復處理，前面提供的算法效率都太低，處理時間太長。針對這種情況，我們提出了一種對數據預處理的計算機算法，大大提高了處理效率。

　　算法的主要思路是通過優化搜索序列、通過置換法尋找特征點、用判別準則進行驗證、再循環搜索、直到得到滿足條件的特征點為止。為提高搜索速度，綜合幾種方法的優點，采取了zui小二乘預處理、分組設定優先順序、選定搜索方向等多條優化措施。

4 補償加工方法

　　補償加工是利用計算機控制刀具（砂輪）運動來補償由于機床導軌及加工變形等造成的工件直線度、平面度誤差。

4．1 誤差補償曲線（曲面）

　　對工件實時測量與補償是非常困難的，因此補償加工采用誤差記憶控制方式，誤差曲線（面）來自上次加工后的工件表面測量結果。如圖4所示，設 y（x）為通過多傳感器在線測量并經過插值誤差分離處理獲得的工件直線度誤差曲線（如果僅對機床導軌形狀誤差進行補償，則 y（x）為導軌副誤差曲線）， f（x）為要求磨削達到的導軌形狀曲線（在對精密機床、測量機導軌進行磨削加工時，為了磨削出高精度導軌，并實現要求的凹凸形狀控制，當要求磨削工件形狀為直線時，f（x）＝0），Y（x）為要求控制砂輪進給的位移量，則可以通過下式求得 Y（x）。

Y（x）＝ So- k×[ f（x）- y（x）]

　　這里：So為磨削進刀深度，k為砂輪進給系統剛度、機床運動系統剛度及工件剛度等影響的修正系數，該系數需要通過相應的實驗研究得到。

　　平面誤差補償加工比導軌誤差補償加工相對要復雜一些，生成平面度誤差補償曲面的方法與生成直線度誤差補償曲線的方法相類似。磨削平面時，砂輪磨頭要沿工作臺作反復循環運動，這樣在兩種不同運動狀態下，對 k系數及誤差補償曲面是否需要調整及調整方法需要通過實驗研究確定。

4.2 大行程進給的實現

　　Z軸的位置控制策略因采用的微進給方式不同而不同，若微進給方式為壓電伸縮氣壓調節式，則由于粗動控制是通過Z軸電機驅動精密絲杠完成的，這樣在粗動和微動切換控制時，由粗動控制向微動方式切換時，粗動方式的停止特性則可能成為問題，此時需要通過實驗研究平滑穩定的控制方式切換的實現方法。若微進給通過靜壓諧波傳動實現，上述問題就不存在了，但為了實現高分辨率高精度進給，則需要對傳動系統的爬行特性和其它非線性特性加以注意并采取措施。

4.3 微量進給系統特性分析及補償加工方法研究

　　由于實現微量進給的電致伸縮元件、氣體減壓閥、氣體軸承多個環節的非線性和不確定性會給傳統控制方法獲得的控制結果帶來誤差。針對這一問題分為兩部分進行研究:
（1）微量進給控制系統的建立及動態特性分析；
（2）實際補償控制方法研究。

4．3．1微量進結系統的建立及動態持性分析

　　由于補償加工時，砂輪作旋轉運動以及其它各種干擾因素的影響，對砂輪位移量直接測量非常困難，傳感器的長期穩定性和和精度也不易保證。因此在建立控制系統時，采用易于安裝且精度與穩定性好的氣體壓力傳感器（測量精度＜0．1％，年漂移＜0．2％）檢測氣'體軸承進氣調節壓力變化進行半閉環控制，這樣一方面可以避免壓電晶體磁滯效應的影響，另一方面采用合適控制策略通過'半閉環控制可以提高系統響應速度。

　　在進行系統特性實驗前，首先對其物理模型進行分析，在此基礎上對各環節進行參數辨識，再對模型及參數進行優化，以使跟蹤控制誤差達到zui小。主要完成的工作為：

a）測定靜態電壓位移曲線、氣壓位移曲線；
b）選擇線性段區域測定系統增益系數；
c）理論分析各環節物理模型：
d）采用隨機噪聲序列或階躍響應曲線建模并辨識模型參數。

　　實驗表明，供氣壓力—砂輪位移關系可近似表示為一帶純滯后的二階欠阻尼系統，電壓—氣壓關系則由于氣體減壓閥進氣孔與泄氣孔不同而特性不同，采用階躍法獲得進氣和泄氣過程響應曲線，再對其分別建模辨識。

　　其關系都可以表示為模型參數不同的純滯后一階慣性系統。
　　由于系統環節過程較多，造成系統模型經過一段時間會產生一定漂移，這樣會影響控制質量。為克服這一問題，在實際補償加工控制系統中設置兩種模態：測試模態和控制調節模態。開始補償加工前系統處于測試模態下，施加階躍響應信號測試系統模型和模型參數。然后進入控制調節模態，由測試模態得到的系統模型修改控制器參數，然后由此控制器對系統動態特性進行控制。由于系統的非線性特性，線性模型是一種近似模型，采用非線性建模方法可望得到更態模型。

4．3．2實際補償控制方法研究

　　應用于大型超精密平面磨床的實際補償控制方法主要有以下幾點要求：可靠穩定、快速、系統的魯棒性強。

　　為了提高系統的動態響應速度，可以采用“前饋+PID”的控制方法，圖5給出的是該方法的控制系統框圖，圖中 F（s）前饋控制環節， G1（s）為 PID控制環節。考慮進氣與泄氣時 G2（s）具有不同的傳遞函數，相應地，其前饋控制環節和 PID控制環節也不同。

　　理想情況下希望 Xo（s）=Xi（s），即系統實現*跟蹤，但為滿足*跟蹤，則要求系統模型己知且確定不變，這一點復雜控制系統不易滿足。考察“電壓一氣壓”模型和“氣壓一位移”模型可知，影響系統動態響應速度的主要環節為中間環節 G2（s），因此對“電壓一氣壓”部分進行半閉環前饋控制就可以大大提高系統動態響應速度。

閉環系統誤差傳遞函數為：

　　為了實現方便，采用速度前饋控制器（F（s）= as）實現前饋控制。施加階躍電壓信號大小為140V一220V，采用“前饋+PID”控制方法后系統階躍響應上升時間減少為 O．25秒，下降時間減少為 O．5秒以內。實驗表明，在1HZ頻域范圍內系統幅頻特性良好，考慮超精密平面磨床導軌誤差較小（實際測量為 lμm／1000mm左右）且平滑緩慢變化，以上的幅頻特性*可以滿足實際需要。

　　用線性模型對驅動電源及壓電晶體模型進行辨識，結果表明其動態特性表現為一帶延時效應的一階慣性環節：

　　一般認為靜承為一高階模型，其模型結構可參考有關文獻，從目前掌握的資料來看，對于這種調節供氣壓力式的空氣靜承，其動態模型尚未進行研究。由于氣體壓力數字調節不易實現，對其模型直接進行辨識存在一定困難。實際實驗中，將整個系統連接起來，通過驅動壓電晶體調節進氣腔氣體壓力，就得到整個系統階躍響應曲線。